7. Формула Тейлора для функций двух переменных
Если функция
имеет в некоторой окрестности точки
непрерывные частные производные до
(
)-го
порядка
включительно, то в этой окрестности
справедлива формула Тейлора
(1)
Для функции одной
переменной
имеем
и формула (1) принимает знакомый вид
Для функции двух
переменных
в формуле (1)
и т.д.,
то есть дифференциал
-го
порядка
берется в точке
.
Остаточный член
в форме Лагранжа
имеет вид
,
Здесь производные
берутся в некоторой средней точке
:
,
,
,
.
Остаточный член в форме Пеано (при более слабых предположениях).
,
.
Пример 1.
Для функции
записать формулу Тейлора в окрестности
точки
.
Решение.
Подсчитаем
и частные производные:
Запишем первый дифференциал в точке :
.
Найдем вторые производные:
,
,
.
Запишем второй дифференциал в точке :
.
Все производные порядка
выше второго равны нулю. Формула Тейлора
принимает вид
.
Фактически мы перегруппировали данный
многочлен по степеням
и
.
☻
Пример 2.
Записать формулу Тейлора
-го
порядка для функции
в окрестности точки
.
Решение.
Находим
и частные производные:
.
Запишем первый дифференциал в точке :
.
Подсчитаем вторые производные:
,
,
.
Теперь можем записать второй дифференциал в точке :
.
Продолжаем дифференцировать:
.
Все остальные производные 3-го порядка
равны нулю:
.
Значит, из третьего дифференциала в точке остается одно слагаемое:
.
Легко заметить, что
дальнейшее дифференцирование по
приводит к формуле
.
Значит,
.
Формула Тейлора принимает вид:
,
где
,
.
☻
В частном случае при
из (1) получаем формулу Маклорена.
Пример 3.
Функцию
разложить по формуле Маклорена до членов
второго порядка.
Решение.
Для формулы Маклорена следует записать
разложение (1) в окрестности точки
.
Находим
.
Для первого дифференциала находим
.
Так как
,
то
.
Чтобы записать второй дифференциал, находим
.
Получаем
.
Формула Маклорена для
функции
принимает вид
,
.
☻
Задания для самостоятельной работы
1.
Функцию
разложить по формуле Тейлора
а) в окрестности точки
;
б) в окрестности точки
.
2.
Записать несколько первых членов формулы
Тейлора для функции
в окрестности точки (0,0).
3.
Записать формулу Маклорена для функции
.
4.
Функцию
разложить по степеням
,
найдя члены до третьего порядка
включительно. Использовать результат
для вычисления (без таблиц!)
.
5. Записать формулу Маклорена -го порядка для функции
а)
; б)
;
в)
; г)
.
8. Экстремум функций многих переменных
Для функции многих переменных термины «максимум функции» и «минимум функции» имеют тот же смысл, что и для функции одной переменной, а именно: этими терминами обозначаются наибольшее или соответственно наименьшее значение функции в точке по сравнению со значениями функции в точках, соседних с . Дадим строгое определение.
Определение.
Пусть функция
определена в области
.
Точка
называется точкой максимума функции
(соответственно, минимума), если существует
такая окрестность
точки
,
что для всех
выполняется неравенство
.
Здесь
,
,
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
Теорема 1. (Необходимые условия экстремума). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если – точка экстремума функции и функция дифференцируема в этой точке, то
(1)
Точки, в которых имеют место равенства (1), называются стационарными.
Дифференцируемая функция может и не иметь экстремума в стационарной точке. Иначе говоря, необходимые условия экстремума, данные в теореме 1, не являются условиями, достаточными для наличия экстремума у функции в точке . Это подтверждает следующий пример.
Пример 1.
Убедиться, что функция
не имеет экстремума в стационарной
точке.
Решение. Найдем стационарные точки функции. Для этого сначала подсчитаем частные производные:
.
Приравняем частные производные к нулю:
при
.
Итак, найдена стационарная
точка
.
Значение функции
в точке
равно нулю. Но в сколь угодно малой
окрестности точки
функция принимает как положительные,
так и отрицательные значения. Действительно,
если
,
то
,
если же
,
то
.
Следовательно, в стационарной точке
функция
экстремума не имеет. Поверхность,
определяемая уравнением
– гиперболический параболоид – имеет
в окрестности начала координат
седлообразную форму.☻
Чтобы установить,
действительно ли рассматриваемая
функция
имеет в стационарной точке
экстремум, естественно обратиться к
рассмотрению разности
.
Если для всех точек
из некоторой окрестности точки
справедливо неравенство
,
то в точке
– по определению – функция
имеет минимум (максимум).
Разложим разность
по формуле Тейлора с остаточным членом
в форме Пеано, ограничиваясь двумя
слагаемыми. Естественно при этом
предположить, что функция
дважды дифференцируема в окрестности
точки
.
Так как точка
предполагается стационарной, то
.
Значит, интересующая нас разность
запишется в виде
,
Таким образом, знак
приращения
совпадает со знаком второго дифференциала
функции в точке
:
.
Второй дифференциал
функции
в точке
– это квадратичная
форма
от переменных
,
:
(2)
От свойств квадратичной формы зависит, сохраняет ли разность определенный знак в некоторой окрестности точки , иначе, имеет ли функция экстремум в точке .
Напомним соответствующие определения.
Определение. Квадратичная форма
,
(3)
называется положительно
(отрицательно) определенной, если
(
)
для любой точки
,
.
Если квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, то она называется знакоопределенной.
Квадратичная форма
называется знаконеопределенной
(знакопеременной),
если
и
такие, что
,
а
.
Теорема 2.
(Достаточные
условия экстремума).
Пусть функция
определена и имеет непрерывные производные
2-го порядка в некоторой окрестности
точки
,
а
является стационарной точкой функции.
И пусть квадратичная форма (2) от переменных
является положительно
определенной
(отрицательно
определенной).
Тогда
и является точкой минимума (соответственно максимума). Если же квадратичная форма (2) является знакопеременной, то разность не сохраняет знак в окрестности точки – экстремума нет.
Как выяснить, будет ли квадратичная форма (3) знакоопределенной? Ответ на этот вопрос дает теорема
Критерий Сильвестра.
Для того, чтобы
квадратичная форма (3) с матрицей
(у которой
)
была положительно определенной,
необходимо и достаточно, чтобы угловые
миноры матрицы
были положительными:
,
.
Для того, чтобы
квадратичная форма была отрицательно
определенной, необходимо и достаточно,
чтобы знаки угловых миноров чередовались,
начиная с отрицательного, т.е.
,
.
Для функций двух переменных матрица соответствующей квадратичной формы (2) имеет вид (производные берутся в точке ):
Сформулируем достаточные условия экстремума для функции .
Теорема 3. Если в стационарной точке выполняется неравенство
,
(4)
то функция имеет в экстремум, а именно:
минимум, когда
;
максимум, когда
.
Пример 2.
Найти экстремумы функции
.
Решение.
Найдем стационарные точки, приравнивая
нулю частные производные:
;
.
Получили стационарную точку
,
в которой функция может
иметь экстремум.
Выясним, действительно ли имеется экстремум в стационарной точке , для чего обратимся к достаточным условиям.
Вычислим вторые
производные
,
,
и составим матрицу
.
Неравенство (4)
выполняется:
,
Значит, данная функция имеет в начале
координат экстремум, а именно, минимум
так как
.
Вычислим
.
Поверхность, определяемая уравнением
– это параболоид вращения с вершиной
в точке (0,0,1). ☻
Пример 3. Исследовать
на экстремум функцию
.
Решение.
Подсчитаем частные производные
,
Приравниваем производные нулю (необходимое условие экстремума):
Получили единственную
стационарную точку
– точку возможного экстремума. Чтобы
выяснить, действительно ли имеется
экстремум в точке
,
обратимся к достаточным условиям. Для
этого подсчитаем
,
,
и составим матрицу
.
Находим её угловые миноры:
,
В силу достаточного
условия в точке
заданная функция имеет максимум. Находим
.☻
Пример 4.
Исследовать на экстремум функцию
.
Решение. Найдем частные производные и приравняем их к нулю (необходимое условие экстремума)
.
Получили две стационарные
точки
.
Проверим достаточные
условия экстремума для стационарной
точки
.
Для этого подсчитаем вторые производные
,
,
Составляем для точки
матрицу
и находим угловые миноры:
,
.
В силу достаточного условия в точке
имеется минимум. Находим
.
Проверим, есть ли
экстремум в стационарной точке
.
Подсчитаем
,
,
.
Составляем для точки
матрицу
и находим её угловые миноры:
,
.
Достаточное условие экстремума не
выполнено – в точке
заданная функция экстремума не имеет.☻
Пример 4.
Убедиться, что функция
в точке
имеет максимум. Найти максимальное
значение функции.
Решение. Проверим сначала, является ли точка стационарной для заданной функции. Для этого подсчитаем частные производные в точке :
Равенство нулю производных в точке убеждает нас, что это действительно стационарная точка. Является ли стационарная точка точкой экстремума? Чтобы воспользоваться достаточными условиями экстремума, подсчитаем
,
,
Составим матрицу
.
Ее угловые миноры
,
,
поэтому в точке
имеется экстремум, а именно, максимум.
Найдем
.
☻