Задания для самостоятельной работы

1. Найти и для неявных функций, определяемых уравнениями

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2. Найти частные производные первого и второго порядка функций , заданных уравнениями

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

3. Найти и , если функции и заданы неявно системой уравнений

1) ; 2) .

4. Найти частные производные функций , заданных неявно системой

1) , 2)

6. Производная по направлению. Градиент.

Пусть функция дифференцируема в области и пусть в этой области задано некоторое направление . Производная функции по направлению находится по формуле

(1)

Если производные вычислены в фиксированной точке , то формула (1) показывает скорость изменения функции в этой точке по направлению . Выясним, по какому направлению функция в данной точке возрастает быстрее.

Введем вектор с координатами . Такой вектор называется градиентом функции и обозначается символом :

(2)

Левая часть формулы (1) теперь может рассматриваться как скалярное произведение единичного вектора на вектор . Значит, можем записать

,

где – угол между направлением и градиентом. Отсюда видно, что производная достигает наибольшего значения, когда , т.е. когда направление совпадает с градиентом.

Таким образом, скорость наибольшего роста функции в данной точке (по величине и направлению) определяется градиентом функции.

Пример 1. Найти производную функции в точке в направлении . Чему равна величина градиента функции в этой точке?

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), подсчитаем частные производные заданной функции в точке :

Значит, производная функции в заданном направлении равна

.

В соответствии с формулой (2) запишем градиент функции в точке :

Величина градиента (модуль вектора) равна . ☻

Пример 2. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси .

Решение. Подсчитаем сначала частные производные в точке :

.

Найдем направляющие косинусы:

.

По формуле (1) запишем

. ☻

Пример 3. Для функции определить угол между градиентами в точках и .

Решение. Подсчитаем сначала частные производные функции в точках :

Теперь можем записать градиент функции в каждой из этих точек:

,

.

Скалярное произведение этих векторов равно нулю:

.

Значит, угол между градиентами равен . ☻

Задания для самостоятельной работы.

1. Найти производную функции в точке в направлении, идущем от этой точки к точке .

2. Найти производную функции в точке в направлении биссектрисы первого координатного угла.

3. Найти производную функции в точке в направлении, идущем от этой точки к началу координат.

4. . Найти в точке .

5. . Найти в точке .

6. . Найти в точке .

7. . Найти угол между градиентами функции в точках , .

8. Даны функции и . Найти угол между градиентами этих функций в точке .

9. Найти точку, в которой градиент функции равен .

10. Найти точки, в которых модуль градиента функции равен 2.

11. Найти наибольшую крутизну подъема поверхности в точке .

12. Найти наибольшую крутизну подъема поверхности в точке .