Лекция №9. Устойчивость сар
На вход системы подается гармонический сигнал, на выходе получается гармонический сигнал с измененной амплитудой и сдвигом по фазе. Так как система линейна, то частота не изменяется
САР называется устойчивой, если, будучи выведенной из состояния равновесия, либо под воздействием извне, она вернется в прежнее состояние после прекращения воздействия.
Для устойчивости системы все корни ее характеристического уравнения должны либо быть действительными отрицательными, либо комплексными с отрицательной действительной частью.
САР находится на границе устойчивости, если есть хотя бы один нулевой корень или чисто мнимый корень, все остальные корни должны отвечать требованию устойчивости(см. выше)
Корень характеристического уравнения в общем случае:
Рис.9.1
Корни характеристического уравнения на комплексной плоскости
Если система устойчива, то все корни ее характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости.
Границы устойчивости:
-Апериодическая
граница устойчивости:
-Колебательная граница устойчивости: корни характеристического уравнения чисто мнимые.
-Граница с бесконечно удаленным корнем.
Общее определение устойчивости
Теория об устойчивости была сформирована Ляпуновым.
Уравнение динамики нелинейной системы в форме Коши:
,
где
-
определяет общее движение системы
-невозмущенное
движение системы (установившийся режим)
Введем разность 2 сигналов:
-отклонение
возмущенного движения (см. Рис.9.3)
Рис. 9.2
рис. 9.3 Отклонение по ошибке
Примечание: δ-дельта трубка (внутренняя трубка) , ε-эпсилон трубка (внешняя трубка)-соответствует допустимым отклонениям.
Аналитическое определение понятия точности по Ляпунову
Невозмущенное
движение называется устойчивым, если
при сколь угодно малом
существует такая область
,
что при всех значениях времени (
)
,будет выполняться условие
,
при
Возможны два случая:
Случай 1. Асимптотическая устойчивость:
Случай 2. Система устойчива в целом (в большом): выполняются те же условия при больших начальных отклонениях.
Если разложить нелинейное уравнение динамики в ряд Тейлора, тогда получаем уравнение в отклонениях:
,
где:
-линейная
часть
-малые
нелинейности, которые имеют члены
разложения высшего порядка, начиная со
второго. После проведенной линеаризации
получается приближение:
Теорема об устойчивости для линеаризованных систем
1.Если
все корни характеристического уравнения
линеаризованной части находятся в левой
полуплоскости, то система является
устойчивой независимо от малых
нелинейностей
:
-характеристическое
уравнение
2.Если хотя бы один корень характеристического уравнения линеаризованной части находится в правой полуплоскости, то система будет неустойчива независимо от малых нелинейностей
3.Если имеется хотя бы один нулевой или чисто мнимый корень характеристического уравнения, то необходимо учитывать малую нелинейность .
Примечание. На практике пытаются избежать последнего случая и не приближаться к границе устойчивости.
Для исследования устойчивости системы используется много критериев, но на практике широко применяются 3 критерия:
1. Алгебраический критерий (критерий Гурвица)
2. Частотный критерий Михайлова
3. Частотный критерий Найквиста