Лекция №10 Критерий Гурвица (критерий асимптотической устойчивости)

Дан характеристический полином:

Характеристическое уравнение:

-характеристическое уравнение n-мерной системы

Условие устойчивости:

-Необходимое условие: все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными

-Достаточное условие: Все определители Гурвица должны быть положительными при i=1..n

Матрица Гурвица для системы n порядка:

, где определители Гурвица:

, и т.д. Таких определителей всего n штук.

Примечание: если нет коэффициентов, то в соответствующий член матрицы равен нулю

Критерий устойчивости по Гурвицу

-Необходимое, но не достаточное условие: все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными

-Достаточное условие: все определители Гурвица должны быть положительными.

Для систем 1 или 2 порядка необходимое условие является достаточным

Вычисление n-го определителя:

Для системы 3 порядка необходимо выполнение обоих условий:

Для системы 4 порядка достаточным условием является:

Границы устойчивости

Есть 3 типа границ устойчивости:

• когда -есть нулевой корень. При условии, что все остальные коэффициенты положительны, это называется апериодической границей устойчивости

• когда -появляется пара чисто мнимых корней. При условии, что все остальные коэффициенты положительны, это называется колебательной границей устойчивости.

• когда есть бесконечно удаленный корень - возможно при

Если разделить характеристическое уравнение на , то получается:

При корень

Доказательство необходимого условия:

Пусть все коэффициенты положительны, тогда характеристическое уравнение можно представить в следующем виде:

Пусть корни уравнения либо отрицательные действительные, либо комплексные с отрицательной действительной частью, тогда:

После подстановки этого в исходное уравнение получается:

Комплексные сопряженные сокращаются:

[][]=0

Доказано, что все коэффициенты в случае устойчивой системы должны быть положительными

Пример. Необходимо определить, при каких параметрах данная система будет устойчива, и определить передаточную функцию замкнутой системы (см. Рис. 10.1).

Рис. 10.1

Характеристический полином:

Обозначим: , , ,

Матрица Гурвица:

Условие устойчивости:

Границы устойчивости (см. Рис. 10.2, Рис. 10.3):

- -апериодическая граница

-

- ,

Рис. 10.2

Рис. 10.3

Лекция №11 Критерий устойчивости Михайлова

Данный критерий позволяет определить устойчивость системы по виду характеристического уравнения замкнутой системы с помощью частотных характеристик.

Характеристический полином:

Корни характеристического уравнения

Далее строится годограф (см. Рис. 11.1):

Рис.11.1 Плоскость корней характеристического уравнения

Рассматривается левый корень:

Для правых корней:

При изменении частоты получаем аргумент:

Пусть есть n корней, из которых m-в правой полуплоскости

При изменении частоты получаем аргумент:

Для устойчивости системы не должно быть корней в правой полуплоскости: m=0

Критерий Михайлова-годограф -кривая Михайлова - симметрична относительно действительной оси.

Отрицательные частоты не рассматриваются. Пусть дана система n порядка

,где

При -начальная точка кривой Михайлова

При

Для устойчивости линейной системы порядка n необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова начиналась на действительной оси и последовательно охватывала n квадрантов против часовой стрелки, при этом все время окружая начало координат (См. Рис. 11.2).

Рис.11.2 данные системы устойчивы

Рис. 11.3

В данном случае система неустойчива (рис.11.3, справа), так как есть корни в правой полуплоскости.

Другая форма критерия Михайлова

Эта форма состоит в том, что корни характеристического уравнения перемежаются один за другим от точки, где до точки, где (Рис.11.4). Мнимая и действительная оси должны попеременно пересекаться.

Рис. 11.4 Другая форма критерия Михайлова