Сравнение последовательностей

Пусть , где – б. м. последовательность. В этом случае пишут

и говорят, что последовательность есть о-малое от при .

При этом, если – б. м. последовательность, то будем называть бесконечно малой более высокого порядка малости.

Пример. Пусть и . Так как , где и , то .

Если существует такое число , что при всех натуральных выполняется неравенство , то пишут

и говорят, что есть - большое от .

Таким образом, даны следующие определения:

,

.

Заметим, что если и последовательность ограничена, т.е. , то .

Пример. Пусть , .

Так как , то , но , так как при и . Неравенство не выполняется ни при каких значениях .

Пример. Пусть и .

, так как . Заметим, что . Действительно, .

Определение. Пусть , и .

Будем писать

,

если .

Пример. Пусть , .

Так как , то .

Арифметические операции над пределами последовательностей

Теорема о сумме пределов. Пусть , . Тогда, если

сумма определена, то .

• Пусть , , . По определению предела последовательности

, (1)

. (2)

Положим . По заданному выбираем так, чтобы .

Пусть , . , .

;

.

Положим , .

.

Следовательно, .

Случай , исследуется аналогично.

Итак, сумма пределов является пределом суммы.

Теорема о произведении пределов. Пусть , . Тогда если произведение определено, то .

• Пусть . Тогда

. (3)

В силу сходимости последовательности она ограничена:

. Пусть , , .

Пользуясь оценками (1), (2), из (3) находим, что для всех

.

Итак, произведение пределов является пределом произведения.

Пусть . . Поскольку , то (см. теорему о сохранении знака сходящейся последовательности). Так как , то . Пусть . Тогда , то есть .

Остальные случаи исследуются аналогично.

Теорема о частном пределов.

Пусть , . Если частное определено, то .

• Имеем .

Так как , то согласно теореме о сохранении знака сходящейся последовательности .

Пусть , , . Используя оценки (1) и (2), находим натуральное такое, что для всех

.

Итак, частное пределов равно пределу частного.

Упражнение. .

Предел монотонной последовательности

Определение. Последовательность называется:

строго убывающей, если для всех ;

убывающей (невозрастающей), если для всех ;

строго возрастающей, если для всех ;

возрастающей (неубывающей), если для всех .

Убывающие и возрастающие последовательности называют монотонными. В дальнейшем, если последовательность возрастающая (убывающая), то будем писать: ( ).

Пусть .

Теорема 1. Монотонная ограниченная последовательность действительных чисел сходится, причем, если последовательность возрастающая, то

;

если же последовательность убывающая, то

.

Доказательство. Пусть последовательность и ограничена сверху (снизу она ограничена числом ), т.е. . Так как для всех , то существует точная верхняя грань и . Покажем, что . Поскольку – точная верхняя грань , то 1) ; 2) такое, что . Так как последовательность возрастает, то для каждого имеем

,

то есть для всех . Таким образом, при . Отсюда, ввиду произвольности , .

Замечание. Если последовательность и не является ограниченной сверху, то .

В самом деле, если последовательность не является ограниченной сверху, то такое, что . Так как , то для всех , а это и означает, что .

Аналогично доказывается теорема о пределе убывающей последовательности.

Рассмотрим два примера.

1. Докажем, что , если .

Пусть сначала . Находим , то есть – убывающая, ограниченная снизу (нулем) последовательность. Значит, она имеет предел. Пусть . Последовательность имеет тот же предел: . Но по теореме о произведении пределов последовательностей . Таким образом, .

Если , то будем пользоваться тем, что и тем, что .

( .

.)

2. .

Пусть и .

Для всех .

Тогда для

, где .

Таким образом,

, .

По теореме "о двух милиционерах" .

При доказательство очевидно.

Пусть . Найдём , так как . Но так как , то

Пример. Пусть , . Найдем . .

Найдем .

Действительно, т. к. , то .

Таким образом, последовательность  и ограничена снизу числом 2. Следовательно, . Для определения С перейдём к пределу при в рекуррентном соотношении . Имеем , откуда . Итак, .

Пример. – рекурсивная последовательность, . Найдем . Т к. и , то ясно, что , т.е. . Очевидно, что . Неравенство выполняется в промежутке , так как равносильно . Следовательно, и ограничена сверху: . Поэтому . Найдем : . Отсюда и т. к. , то . Итак,

Заметим, что ограниченность последовательности можно доказать, используя метод математической индукции.

Пусть . Т. к. , то .

Предположим, что . Покажем, что .

Т. к. , то нужно доказать, что .

Если умножить обе части последнего неравенства на два и возвести в квадрат, то получим, что .