Число e

Теорема. Последовательность , где

сходится.

Заметим, что

Доказательство. Докажем, что последовательность строго возрастает и ограничена.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

, (1)

где

.

Подставляя в (1) , получаем

. (2)

Так как , то из (2) вытекает . С другой стороны, так как , то

.

Следовательно, .

Докажем, что . . (3)

Так как и, кроме того, последнее слагаемое в (3): , то из соотношений (2) и (3) следует, что .

Итак, и .

В соответствии с теоремой 1 о пределе монотонной последовательности

имеет предел, который, следуя Эйлеру, обозначают e. Итак,

.

Наряду с число e является одной из наиболее важных констант в математике. Подсчитано, что начальный отрезок десятичного разложения для е имеет вид:

(Леонард Эйлер – швейцарский математик, механик, ученик Бернулли 1707-1783 гг.)

В 1873г. Шарль Эрмит установил, что число е трансцендентно.

(Шарль Эрмит (1822-1901) – французский математик, член Парламента Англии.)

В математике число е известно также как неперово число.

(Джон Непер – шотландский математик, составил таблицу логарифмов в 1614 г.)

Число е играет важную роль в качестве основания натурального логарифма: .

Показательная функция с основанием е называется экспонентой: .

Лекция №7

Подпоследовательности

Пусть задана последовательность . Выберем некоторую строго возрастающую последовательность натуральных чисел . Последовательность называется подпоследовательностью последовательности (частичной последовательностью последовательности ).

Итак, ; – функция натурального аргумента.

Пример. Пусть ,

– подпоследовательность последовательности . Замечание. В частичной последовательности сохраняется тот же порядок следования элементов, какой они имели в исходной последовательности . Так, последовательность не является подпоследовательностью последовательности .

Определение предела подпоследовательности.

.

Теорема. Если последовательность сходится, то и любая её подпоследовательность также сходится, причем к тому же самому пределу.

• ,

.

Пусть последовательность расходится. Что можно сказать о сходимости ее частичных последовательностей?

Теорема Больцано – Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

(Больцано Бернард (1781-1848) – чешский математик, философ, теолог.) (Вейерштрасс Карл (1815-1897) – немецкий математик.)

Доказательство. Так как последовательность ограничена, то . Разделим отрезок пополам, тогда по крайней мере один из полученных отрезков содержит бесконечно много членов последовательности , обозначим его . Выберем произвольный элемент последовательности , принадлежащий отрезку . Пусть это будет . Разделим теперь отрезок пополам и обозначим через один из получившихся отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности . В силу того, что на отрезке содержится бесконечно много членов последовательности , найдется такой элемент , что и . Так выбран элемент и т. д.

Получилась последовательность вложенных отрезков и подпоследовательность последовательности , причем и

, . По теореме Коши-Кантора . Покажем, что . Так как , последовательность и ограничена сверху числом . Поэтому по теореме Вейерштрасса

. (2)

Так как , т. е. и ограничена снизу числом с, то

. (3)

В силу (2) и (3) и так как по теореме о двух милиционерах . Теорема доказана.

Замечание. Из любой неограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к бесконечности.