Критерий Коши сходимости последовательности

(Коши Огюстен Луи (1789–1857) – французский математик.)

Определение. Последовательность удовлетворяет условию Коши (является фундаментальной), если

, справедливо неравенство .

Условие Коши формулируют и таким образом:

.

Теорема (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность сходилась к конечному пределу, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Необходимость. Пусть последовательность сходится, т.е. := выполняются неравенства . Из этих неравенств и свойства модуля получаем: . А это и означает, что последовательность – фундаментальная.

Достаточность. Пусть последовательность фундаментальная. Докажем, что она сходится. Покажем сначала, что последовательность ограничена.

Пусть . Так как последовательность фундаментальная, найдется такое число , что выполняется неравенство . Положим , тогда имеем и значит, . Пусть , тогда . Т.о., последовательность , удовлетворяющая условию Коши, ограничена.

Согласно теореме Больцано-Вейерштрасса последовательность в силу ее ограниченности имеет частичный предел. Обозначим его и докажем, что является пределом всей последовательности .

Пусть та последовательность, для которой . Зададим произвольное и найдем такое, что для всех выполняется неравенство . Для этого же найдем и такое, что для всех . Пусть .

Оценим для разность . Пусть . Тогда для имеем , что означает сходимость последовательности к числу . Теорема доказана.

Пример. Докажем, пользуясь критерием Коши, сходимость последовательности .

Введем обозначение: .

Оценим модуль разности

.

Пусть – произвольное положительное число. Для этого

для значений . Пусть , тогда .

Значит, последовательность фундаментальна и по критерию Коши сходится.

Пример. Покажем, что последовательность расходится.

Докажем, что последовательность не является фундаментальной.

Оценим разность .

Пусть . Тогда . Отсюда видно, что данная последовательность удовлетворяет отрицанию условия Коши ( ). А именно, при для любого натурального . Т.е., для числа не существует номера такого, что при всех и для любого справедливо неравенство . Это означает, что последовательность не является фундаментальной, и, следовательно, расходится.

Пример. Пусть . Докажем, что последовательность расходится.

Покажем, что .

Действительно, .

Применение в экономике

Пример 1. Пусть – первоначальная сумма вклада в банк, р – процент начисления за определённый период времени (месяц, год), N – количество периодов времени хранения вклада, тогда сумма вклада по истечении N периодов времени равна

(1)

Формула (1) называется формулой сложных процентов.

Если период времени разбит на n частей, то через t периодов времени сумма вклада (депозита) составит . Пусть . Тогда

.

Так как

где , то .

Расчёты, выполненные по этой формуле, называют начислениями по непрерывным процентам.

Пример 2. Пусть темп инфляции составляет 1 % в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?

. Потери за полгода составят .

Инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.