1.2 Критерии устойчивости Критерий Рауса

Для определения устойчивости системы строятся таблицы вида:

Коэффициенты	Строки	столбец 1	столбец 2	столбец 3
	1
	2
	3
	4

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все элементы первого столбца имели положительные значения; если в первом столбце присутствуют отрицательные элементы — система неустойчива; если хотя бы один элемент равен нулю, а остальные положительны, то система на границе устойчивости.

Критерий Гурвица

 — определитель Гурвица

Теорема: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его миноры были положительны при 

Критерий Михайлова

Заменим   , где ω — угловая частота колебаний, соответствующих чисто мнимому корню данного характеристического полинома.

Критерий: для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, построенная в координатах  , проходила последовательно через n квадрантов.

Рассмотрим зависимость между кривой Михайлова и знаками его корней (α>0 и β>0)

1) Корень характеристического уравнения — отрицательное вещественное число 

Соответствующий данному корню сомножитель 

2) Корень характеристического уравнения — положительное вещественное число 

Соответствующий данному корню сомножитель 

3) Корень характеристического уравнения — комплексная пара чисел с отрицательной вещественной частью 

Соответствующий данному корню сомножитель 

 , где 

4) Корень характеристического уравнения — комплексная пара чисел с положительной вещественной частью 

Соответствующий данному корню сомножитель 

 , где 

Критерий Найквиста

Критерий Найквиста — это графоаналитический критерий. Характерной его особенностью является то, что вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы делается в зависимости от вида амплитудно-фазовой или логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы.

Пусть разомкнутая система представлена в виде полинома 

тогда сделаем подстановку   и получим: 

Для более удобного построения годографа при n>2 приведём уравнение (*) к «стандартному» виду: 

При таком представлении модуль A(ω) = | W(jω)| равен отношению модулей числителя и знаменателя, а аргумент (фаза) ψ(ω) — разности их аргументов. В свою очередь, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов.

Модули и аргументы, соответствующие сомножителям передаточной функции:

Сомножитель
k	k	0
p	ω

После чего построим годограф для вспомогательной функции   , для чего будем изменять 

При   , а при   (так как n<m и   )

Для определения результирующего угла поворота найдём разность аргументов числителя   и знаменателя 

Полином числителя вспомогательной функции имеет ту же степень, что и полином её знаменателя, откуда следует   , следовательно, результирующий угол поворота вспомогательной функции равен 0. Это означает, что для устойчивости замкнутой системы годограф вектора вспомогательной функции не должен охватывать начало координат, а годограф функции   , соответственно, точку с координатами