Ііі рівень

1. До кола, описаного навколо трикутника ABC, у точках A, B, C проведено дотичні, які попарно перетинаються в точках L, M, N. Відомо, що трикутники ABC і LMN подібні, а радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, дорівнює R. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника LMN.

2. У гострокутному трикутнику ABC проведено висоти AA₁, BB₁, CC₁. Знайдіть відношення , якщо BA₁ : A₁C = 2 : 3, CB₁ : B₁A = 6 : 5.

3. Коло, побудоване на стороні AB трикутника ABC як на діаметрі, перетинає сторони AC і BC у точках P і Q відповідно. Знайдіть , якщо відрізок PQ ділить трикутник ABC на частини, площі яких рівні.

4. Пряма l, яка проходить через вершину A і середину медіани BD трикутника ABC, перетинає сторону BC в точці N. Знайдіть відношення .

5. Площа круга, вписаного в трикутник ABC, дорівнює S₁, а площа круга, описаного навколо трикутника, дорівнює S₂. Знайдіть межі, у яких може змінюватися відношення .

6. У прямокутному трикутнику ABC ( ) проведено висоту BD. Пряма AO, де O — середина BD, перетинає катет BC в точці P. Знайдіть , якщо .

7. Коло, вписане в трикутник ABC, дотикається до сторін трикутника в точках P, Q, R і має радіус r. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник PQR, якщо трикутники ABC і PQR подібні.

8. У прямокутному трикутнику ABC ( ) висота AA₁, бісектриса BB₁ і медіана CC₁ перетинаються в одній точці. Знайдіть синус найменшого з кутів трикутника.

9. Коло, побудоване на стороні AB трикутника ABC як на діаметрі, перетинає сторони AC і BC у точках P і Q відповідно. Знайдіть периметр трикутника PCQ, якщо радіус кола, вписаного в трикутник ABC, дорівнює r, , .

10. Точка P належить стороні BC трикутника ABC і ділить її у відношенні BP : PC = 1 : 2. Знайдіть відношення, у якому пряма AP розбиває медіану BD трикутника, починаючи від вершини.

11. Точки перетину бісектрис кутів паралелограма ABCD є вершинами чотирикутника. Знайдіть площу цього чотирикутника, якщо , AB = 3, BC = 1.

12. Навколо чотирикутника ABCD можна описати і в нього можна вписати коло. Точка O — центр вписаного кола радіуса 60 см. Знайдіть OA + OB, якщо OC = 100 см, OD = 156 см.

13. У трапеції ABCD ( ) бісектриси кутів A і B перетинаються в точці P, а кутів C і D — в точці Q. Знайдіть PQ, якщо AB = 3 см, BC = 4 см, CD = 5 см, DA = 10 см.

14. Діагоналі опуклого чотирикутника ABCD розбивають його на чотири трикутники AOB, BOC, COD і DOC, де O — точка перетину діагоналей. Площі трикутників AOB, BOC і COD дорівнюють 2, 3 і 6 відповідно. Знайдіть площу чотирикутника.

15. Знайдіть меншу бічну сторону прямокутної трапеції, описаної навколо кола, якщо її основи дорівнюють 5 м і 7 м.

16. У паралелограмі ABCD проведено бісектриси кутів, при перетині яких утворюється чотирикутник. Знайдіть периметр цього чотирикутника, якщо , BC = 1, .

17. Точка O — центр кола, вписаного в чотирикутник ABCD, OA =  , OB =  , OC =  . Знайдіть OD, якщо навколо чотирикутника ABCD можна описати коло.

18. У трапеції ABCD ( ) бісектриси кутів A і B перетинаються в точці P, а кутів C і D — в точці Q. Знайдіть довжину середньої лінії трапеції, якщо AB = 3 см, BC = 4 см, CD = 5 см, PQ = 1 см.

19. Діагоналі опуклого чотирикутника ABCD розбивають його на чотири трикутники AOB, BOC, COD і DOA, де O — точка перетину діагоналей. Знайдіть площі трикутників BOC і DOA, якщо площа чотирикутника дорівнює 42, а площі трикутників AOB і COD — 8 і 12 відповідно.

20. Знайдіть площу прямокутної трапеції, у яку можна вписати коло, якщо її основи дорівнюють і .

21. Перерізом правильної чотирикутної призми є ромб із гострим кутом 60°. Знайдіть косинус кута між січною площиною і площиною основи цієї призми.

22. Дано два рівні куби з ребром а. Один із них можна одержати поворотом другого на кут 90° відносно прямої, яка проходить через середини двох протилежних ребер, що не належать одній грані. Знайдіть об’єм спільної частини даних кубів.

23. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁ діагоналі АС і BD грані ABCD перетинаються в точці N, точка М – середина ребра СС₁. Пряма MN утворює з площиною АВС кут , а з площиною АА₁В₁ – кут . Знайдіть усі можливі значення кута , якщо .

24. Через три вершини куба, розміщених на кожній трійці ребер, що виходять із однієї вершини, проведено площину. Знайдіть об’єм многогранника, обмеженого цими площинами, якщо ребро куба дорівнює  см.

25. Основою похилої призми АВСА₁В₁С₁, бічні ребра якої нахилені до площини основи під кутом 45°, є прямокутний трикутник АВС. Відрізок В₁К, де К — середина катета ВС (ВС = 5 см), перпендикулярний до площини АВС. Двогранний кут при бічному ребрі ВВ₁ дорівнює 60°. Знайдіть повну поверхню призми.

26. У правильну чотирикутну піраміду вписано куб так, що чотири його вершини належать основі піраміди, а чотири інші — апофемам піраміди. Висота піраміди утворює з її бічною гранню кут 30°. Знайдіть відношення об’єму піраміди до об’єму куба.

27. У правильній чотирикутній зрізаній піраміді діагональ дорівнює см, висота — 3 см, а двогранний кут при нижній основі — 45°. Знайдіть об’єм зрізаної піраміди.

28. Основою прямого паралелепіпеда є ромб із тупим кутом 120°. Перерізом цього паралелепіпеда є квадрат із вершинами на його бічних ребрах. Знайдіть косинус кута між січною площиною і площиною основи паралелепіпеда.

29. Основою похилої призми є прямокутний трикутник АВС, сума катетів якого дорівнює 9 см, а кут при вершині А — 30°. Бічна грань призми, що проходить через катет АС, нахилена до основи під кутом 60°. Через гіпотенузу АВ і вершину С₁ протилежного тригранного кута проведено площину. Знайдіть об’єм трикутної піраміди С₁АВС, якщо С₁А = С₁В = С₁С.

30. Основою піраміди є трапеція, у якої бічні сторони дорівнюють меншій основі, більша основа — 6 см, а тупий кут — 120°. Усі бічні ребра піраміди утворюють із площиною основи кут 60°. Знайдіть об’єм піраміди.

31. Бічні грані правильної трикутної зрізаної піраміди нахилені до площини її основи під кутом 45°. Визначте відношення поверхні кулі, вписаної у зрізану піраміду, до повної поверхні зрізаної піраміди.

32. У конус вписано півкулю так, що плоска грань півкулі розміщена на основі конуса, а сферична поверхня дотикається до бічної поверхні конуса. Об’єм конуса в раза більший, ніж об’єм півкулі. Визначте кут між висотою і твірною конуса.

33. Радіус сфери, вписаної в правильну чотирикутну піраміду, дорівнює 3 м. Двогранний кут між суміжними бічними гранями піраміди дорівнює 120°. Знайдіть об’єм піраміди, вершинами якої є центр сфери і точки дотику сфери до бічних граней даної піраміди.

34. Дано трикутну піраміду АВСD. Довжини ребер AD, BD і CD — рівні. Сфера радіуса 1 дотикається до площини АВС, півпрямої CD та ребер AD і BD. Знайдіть довжину відрізка дотичної, проведеної до сфери з точки А, якщо ВАС = 90, ВСА = 30, ВС = 2 .

35. Дано зрізану піраміду АВСDA₁B₁C₁D₁, основами якої є рівнобічні трапеції АВСD (AD  BC) і A₁B₁C₁D₁ з гострим кутом 60° і бічними сторонами 9 см і 6 см відповідно. Знайдіть об’єм зрізаного конуса, вписаного в дану зрізану піраміду, якщо кут між прямими АA₁ і AD дорівнює 60°.

36. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ дорівнює 1 м. Куля дотикається трьох граней куба, які містять вершину А, і трьох ребер, які виходять із вершини С₁. Знайдіть об’єм частини кулі, яка знаходиться за межами куба.

37. Дві кулі радіусів 6 см і 3 см дотикаються. Навколо них описано конус так, що кулі дотикаються до нього по колах. Знайдіть бічну поверхню зрізаного конуса, основами якого є круги, обмежені колами дотику куль до конуса.

38. Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює 2 дм і нахилене до площини основи під кутом 45º. У піраміду вписано циліндр так, що нижня основа циліндра розміщена на основі піраміди, а верхня — дотикається її бічних граней. Знайдіть об’єм циліндра, якщо діаметр його основи дорівнює висоті.

39. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см. Перпендикуляр, опущений із центра описаної навколо піраміди кулі на бічну грань, утворює з висотою кут 60°. Знайдіть об’єм кулі.

40. Паралелограм АВСD обертається навколо діагоналі АС. Знайдіть об’єм тіла обертання, якщо менша сторона паралелограма дорівнює 2 см і утворює з АС кут 60°, а більша сторона — кут 30°.

1