27)Условие выпуклости и вогуности.

Теорема. Если функция имеет на интервале вторую производную и ( ) на , то график функции имеет на выпуклость, направленную вниз (вверх).

28)Определение первообразной и неопределенного интеграла.

Дифференцируемая функция F(;c), определенная на некотором промежутке Х, называется первообразной для функции f(x), определенной на том же промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x)= f (x),

Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на некотором промежутке Х, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом  f{x)dx (читается: «интеграл от эф от икс де икс»). Если F(x) является первообразной для функции f\x) на промежутке Х, то согласно этому определению имеем  f(x)dx = F(x) + С.

Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, х —-переменной интегрирования, символ  — знаком неопределенного интеграла, С — постоянной интегрирования.

29)Основные свойства неопределенного интеграла.

1. ; ; где С - произвольная постоянная.

2. ;

3. 

4. , где С- постоянная величина.

5. .

30)Таблица основных интегралов.

1. ;

2. ;

3. (a>0, a 1);

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ( );

12. ;

13. ;

31)Основные методы интегрирования.

Метод непосредственного интегрирования: путем использования таблицы интегралов.

Метод подстановки: введение новой переменной. Например: , если .

Метод интегрирования по частям: интеграла по формуле (2), где u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции от х.

32)Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла.

Пусть предел интегральной суммы (1) при стремлении λ к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек и точек . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a;b] и обозначается , а сама функция y = f (x) называется интегрируемой на отрезке [a;b], т.е.

(5) - формула Ньютона- Лейбница,

Основные свойства определенного интеграл

1. 

2. ;

3. ;

4. 

5.

33)Основные методы интегрирования.

Тогда (6).

Формула (6) носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Теорема. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда (7), где .

Формула (7) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

34)Применение определенного интеграла в геометрии и экономике.

(рис.1).-в геометрии.

.

.-вращение.

.длина дуги

.площадь поверхности.

В экономике.

Если f(t) – функция, характеризующая изменение производительности труда в момент времени t, то есть объем выпускаемый за промежуток [0,T] продукции.

Если в функции Кобба-Дугласа считать, что затраты труда есть линейная зависимость от времени, а затраты капитала неизменны, то .

35)Случайные события. Основные понятия :опыт(испытание),достоверные и невозможные события, совместные и несовместные события, противоположное событие, Полная группа событий.

Случайным событием называется событие, которое при осуществлении

определенного комплекса условий может произойти или не произойти.

Под комплексом условий подразумевается, что произведен опыт (испытание), результат которого можно наблюдать.

Событие называется достоверным, (невозможным) если в результате

опыта оно обязательно произойдет ( не произойдет).

События А и В называются совместными (несовместными), если они

могут (не могут) произойти одновременно.

Событие , заключающееся в том, что не произошло событие А,

называется противоположным событию А.

Множество событий называется полной группой, если в результате

испытания произойдет хотя бы одно из них.

36)Классическая вероятность, относительная частота.

Классической вероятностью события А называется величина , где n - число равновозможных попарно несовместных исходов опыта, а m - число исходов, благоприятствующих появлению события А.

Относительной частотой события А называется величина ,

где n - число испытаний, а m - число появления

события А в n испытаниях.

В статистике в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

37)Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения.

Перестановками из n элементов называются комбинации по n элементов, отличающиеся друг от друга порядком расположения элементов.

Число подстановок из n элементов равно (эн факториал).

*Сочетаниями из n элементов по m называются комбинации по m элементов, отличающиеся друг от друга составом (хотя бы одним элементом).

Число сочетаний

*Размещениями из n элементов по m называются комбинации по m элементов, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком расположения элементов.

Число размещений .