8.11.2. Область нижних частот

Для упрощения эквивалентной схемы, изображённой на рис.(рис. 8.58, а), заменим в ней генератор с ЭДС и внутренним со­противлением R_i, шунтированный сопротивлением R_К, эквивалентным генератором. Это устранит в схеме параллельную ветвь; внутреннее сопротивление эквивалентного генератора для ниж­них частот R_эн и его ЭДС U_эн найдём методом холостого хода и короткого замыкания, применяемым в электротехнике.

Эквивалентный генератор при отсутствии нагрузки (холостом ходе) должен иметь на выходе напряжение :

. (8.171)

Ток короткого замыкания эквивалентного генератора должен быть равен току короткого замыкания схемы

. (8.172)

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора определится как отношение его ЭДС к току короткого замыкания

. (8.173)

Следовательно, сопротивление эквивалентного генератора равно сопротивлению параллельного соединения сопротивления, шунтируемого генератора и шунтирующего сопротивления.

Заменив шунтированный генератор эквивалентным с параметрами, определяемыми уравнениями (8.172) и (8.173), получим упрощённую эквивалентную схему резисторного каска­да для нижних частот, изображённую на рис.8.58.

а б

Рис. 8.58

Из неё сле­дует, что выходное напряжение резисторного каскада в области нижних частот равно произведению тока в цепи I на сопротивление . Ток I равен ЭДС μ , делённой на полное

сопротивление цепи, т.е.

. (8.174)

На средних частотах последнее слагаемое знаменателя полученных выражений пренебрежимо мало по сравнению с суммой первых двух, а следовательно, выходное напряжение на средних частотах определится так:

. (8.175)

Поделив (U_вых на U_{вых ср}), получим относительное усиление в комплексной форме для резисторного каскада в области нижних частот: , (8.176)

где (8.177)

имеет размерность времени и называется постоянной времени нижних частот резисторного каскада. Аргумент выражения (8.176) есть угол сдвига фазы выходного напряжения относительно входного в области нижних частот. Этот угол определится как арктангенс отношения мнимой части выражения (8.176) к действительной: (8.178)

, (8.179)

где X – нормированная частота для области нижних частот, равная

. (8.180)

Из (8.179) видно, что при изменении частоты сигнала от 0 до , тангенс угла сдвига фазы меняется от до 0. Отсюда следует, что угол сдвига фазы между выходным и входным на­пряжениями резисторного каскада в области нижних частот стре­мится к +90°, при безграничном понижении частоты, и к 0° на средних частотах, где X становится очень большим. Положи­тельное значение показывает, что в области нижних частот выходное напряжение опережает по фазе входное.

Из рис. 8.58, б видно, что при частоте, стремящейся к нулю, сопротивление цепи стремится к бесконечности и становится ёмкостным. При этом ток I в цепи опережает ЭДС Ů_вх, а следовательно, и входное напряжение Ů_вх на 90°. Так как выходное напряжение Ů_вх равно IR_н – в фазе с током, то и выходное напряжение при частоте, стремящейся к нулю, опережает входное на 90°.

При сопротивление конденсатора Ср ничтожно мало и сопро­тивление цепи практически активно; поэтому ток в цепи, а следовательно, и выходное напряжение будут в фазе с входным напряжением.

Модуль относительного усиления, определяющий вносимые резисторным каскадом частотные искажения и его частотную характеристику на нижних частотах, получим из (8.178): . (8.181)

Из (8.181) видно, что при безграничном понижении частоты относительное усиление, а следовательно, и коэффициент уси­ления резисторного каскада стремятся к нулю; при повышении частоты Y стремится к единице, а К − к усилению на средних частотах.

Действительно, из рис. 8.58 видно, что при безграничном понижении ча­стоты сопротивление конденсатора Ср стремится к бесконечности, ток в цепи стремится к нулю, а следовательно, и выходное напряжение также стремится к нулю. При возрастании частоты сопротивление конденсатора С_р стремится к нулю, а выходное напряжение − к своему значению на средних частотах.

Положив в формуле (8.181) и решив её относительно Ср, получим выражение, определяющее необходимую ёмкость разделительного конденсатора по заданному коэффициенту ча­стотных искажений М_н от влияния этого конденсатора на низ­шей рабочей частоте f_н:

. (8.182)

Для определения переходной характеристики резисторного каскада в области больших времён заменим в (8.181) Y на f(p) и на оператор p, после чего получим

. (8.183)

Из таблиц найдём оригинал, соответствующий изображению (8.183) и представляющий собой нормированную переходную характеристику резисторного каскада в области больших времён:

, (8.184)

где Х, представляющий собой нормированное время, равен

. (8.185)

Отсюда, согласно (8.184, (8.185), спад вершины импульса длительностью T, вызванный влиянием разделительного конденсатора, составит

. (8.186)

Решая (8.186) относительно Ср, получим формулу для определения необходимой ёмкости разделительного конденсатора, по допустимой величине спада и длительности импульса T:

. (8.187)

При <<1, что обычно имеет место, , в чем нетрудно убедиться разложением в ряд Тейлора. Выражения для Ср упрощается

, (8.188)

так как << . Решив (8.188) относительно , получим простую формулу

, (8.189)

из которой следует, что спад численно равен отношению длительности импульса к постоянной времени каскада в области нижних частот. Так, например, для получения спада, равного 0,1 при длительности импульса 0,01 секунды, необходима постоянная времени каскада в области нижних частот, в 10 раз превышающая длительность импульса и, следовательно, равная 0,1 секунды.

8.11.3. Область средних частот

С целью упрощения эквивалентной схемы (рис. 8.59, а) для средних частот заменим параллельно включённые и сопротивлением , равным а б Рис. 8.59

. (8.190)

Здесь представляет собой сопротивление нагрузки выходной цепи усилительного элемента переменному току.

После этой замены эквивалентная схема резисторного каска­да для средних частот примет вид, изображенный на рис. 8.59, б.

. (8.191) Расчётный коэффициент усиления каскада считают равным отношению выходного напряжения на средних частотах к вход­ному напряжению; поэтому расчётный коэффициент усиления резисторного каскада найдём, поделив (8.191) на U_вх:

. (8.192)

Заменим в в выражении (8.192) на , после чего получим

, (8.193)

где − сопротивление эквивалентного генератора на верхних частотах, используемое далее.

Для каскадов на биполярных транзисторах удобнее пользоваться параметрами четырехполюсника, которые связаны с его крутизной

.

Так как эквивалентная схема для средних частот содержит только активные сопротивления, частотные искажения и фазо­вые сдвиги на средних частотах практически отсутствуют.

8.11.4. Область верхних частот

Для упрощения эквивалентной схемы резисторного каскада для верхних частот, приведённой на рис.8. 60, а, заменим и на ), а затем приведём генератор с ЭДС и внутренним сопротивлением , шунтированный сопротивлением , к эквивалентному генератору.

После этого эквивалентная схема примет вид, изображённый на рис. 8. 60, б.

а б

Рис. 8.60

ЭДС эквивалентного генератора для верхних частот и его внутреннее сопротивление определятся выражениями:

, (8.194)

. (8.195)

Находя выходное напряжение схемы рис. 8.60, б как произве­дение тока в цепи на сопротивление ёмкости С₀, получим

. (8.196)

Преобразуя, получим

. (8.197)

На средних частотах второй член знаменателя полученного выражения становится пренебрежимо мал по сравнению с еди­ницей, а следовательно, выходное напряжение на средних ча­стотах

. (8.198)

Поделив (8.197) на 8.198), получим относительное усиление резисторного каскада на верхних частотах в комплексной форме:

, (8.199)

где имеет размерность времени и называется постоянной времени верхних частот резисторного каскада. Аргумент выражения (8.199) есть угол сдвига фазы выходного напряжения относительно входного в области верхних частот и определяется как арктангенс отношения мнимой части (8.199) к действительной:

; (8.200) , (8.201)

где X — нормированная частота для области верхних частот, равная

. (8.202)

Из (8.201) следует, что угол сдвига фазы между выходным и входным напряжениями резисторного каскада в области верхних частот стремится к 90° при безграничном повышении часто­ты, и к 0° на средних частотах, где X становится ничтожно ма­лой величиной. Отрицательное значение показывает, что в области верх­них частот выходное напряжение отстаёт по фазе от входного.

Сказанное видно и из эквивалентной схемы рис. 8.60, б. При безграничном повышении частоты сопротивление ёмкости С₀ становится ничтожно малым и ток сигнала в цепи оказывается в фазе с , а, следовательно, и с . Так как снимается с ёмкости С₀, то оно будет отставать от тока, а значит, и от входного напряжения на 90°. При малых значениях сопротивление цепи практически чисто ёмкостное и ток в цепи опережает ЭДС на 90°, а так как выходное напряжение отстаёт от тока на 90°, оно оказывается в фазе с входным.

Модуль относительного усиления, определяющий вносимые резисторным каскадом частотные искажения и его частотную характеристику на верхних частотах, найдём из (8.201):

. (8.203)

При возрастании частоты , а при её уменьшении . Поэтому коэффициент усиления резисторного каскада при повышении частоты падает, стремясь к нулю на очень высоких частотах, и принимает значение, рав­ное коэффициенту усиления на средних частотах при понижении частоты.

Стремление коэффициента усиления к нулю при повышении частоты обусловлено тем, что сопротивление ёмкости С₀, с которой снимается выходное напряжение, при этом также стремится к нулю.

Приравняв , М = М_в и решив (8.203) относительно , получим

. (8.204)

Чтобы коэффициент частот­ных искажений рассчитываемого каскада на высшей рабочей ча­стоте не превысил заданной величины М_в, необходимо иметь равным или меньше найденного из (8.204). представляет собой сопротивление параллельно сое­динённых R_i, R_в и R_к; его уменьшение возможно за счёт уменьшения любого из этих трёх сопротивлений.

Для определения переходной характеристики резисторного каскада в области малых времён заменим в (8.201) У на f(p) и на оператор p, что даст

. (8.205)

Из таблиц решений операторных уравнений найдём оригинал, соответствующий изображению (8.205) и пред­ставляющий собой нормированную переходную характеристику резисторного каскада в области малых времён

(8.206)

где Х – нормированное время, равное

. (8.207)

Время установления резисторного каскада нетрудно найти по уравнению переходной характеристики в области малых времён, определив из него , соответствующее Y = 0,1, и t₂, соответствующее Y = 0,9:

; ;

; .

Отсюда , (8.208)

и нормированное время установления резисторного каскада

. (8.209)

Расчётную формулу для определения сопротивле­ния в коллекторной цепи резисторного каскада по заданному времени установления получим из (8.208):

. (8.210)

Найдём соотношения, связывающие переходные искажения с частотными и фазовыми искажениями резисторного каскада. Определим частотные и фазовые искажения, вносимые каскадом при синусоидальном сигнале с длительностью полупериода, рав­ной длительности импульса Т. Частота такого сигнала f связана с T соотношением

. (8.211)

Для определения связи времени установления резисторного каскада t_y с его верхней граничной частотой (частотой, на которой относительное усиление Y_вг = 0,707) положим в (8.203) ; . Решим полученный результат относительно С₀R_вг и подставим найденное значение в (8.210). Это даст:

. (8.212)

Следовательно, каскад с верхней граничной частотой 10 МГц будет иметь время установления 0,035 мкс = 35 нс.

Полученные соотношения для каскадов с коррекцией, а также для многокаскадных усилителей являются приближёнными.