2. Степень многочлена. Свойства степени многочлена

Теорема 2. Пусть K – ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, , . Тогда:

1. deg( + max{deg , deg };

2. deg( · ) deg + deg .

Доказательство.

Пусть , . Пусть, например, m n. Тогда:

1) f(x)+g(x)=

deg(f +g) max{deg f(x), deg g(x)}=n.

2) f(x)⋅g(x)=

deg(f(x)⋅g(x)) n+m=deg f(x) + deg g(x) (если и - делители 0 , то =0

deg f(x)⋅g(x) < m+n). Теорема доказана.

Следствие 2.1. Пусть K - область целостности.

Тогда deg (f(x)⋅g(x)) = deg f(x) + deg g(x), f(x),g(x) .

3. Кольцо многочленов над областью целостности. Свойства отношения кратности многочленов.

Теорема 3. Если K – область целостности, то K[х]- область целостности

Доказательство. Пусть K – область целостности. Так как при этом K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, то, по теореме 1, K[х] – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Покажем, что K[х] – область целостности, для этого докажем отсутствие делителей нуля в K[х]. Допустим, что f(x), g(x) , f(x)≠0(x), g(x) ≠0(x) и f(x)⋅g(x) =0(x). Тогда, по определению 3, deg(f(x)⋅g(x))=-. С другой стороны, deg(f(x)⋅g(x)) - противоречие. Следовательно, в K[х] нет делителей 0 K[х] - область целостности. Теорема доказана.

Определение 6. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен кратен многочлену , если f(x)=g(x) и обозначается или .

Простейшие свойства отношения кратности в K[x]:

1) рефлексивность ;

2) транзитивность и ;

3) и ;

4) ;

5) .

В общем случае делимость в произвольных кольцах не обязана быть однозначной, т.е. возможно, что a = b , a = b , где ≠ . Делимость однозначна в области целостности.

Свойства кратности в области целостности

Отметим, что если K - область целостности, то по теореме 3 K [x] - область целостности.

Свойство 1. Пусть K – область целостности, . Если и , то .

Свойство 2. Пусть K – область целостности, , . Если то

Свойство 3. Пусть K – область целостности,

Тогда f~g : f =g и g = f .

4. Деление многочлена на линейный двучлен. Теорема Безу. Корни многочлена.

Определение 7. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f(x)=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ K[x] (т.е. f(x)= ), c K. Элемент а₀+а₁с+а₂с²+…+а_ncⁿ K называется значением многочлена f(x) в точке с (на элементе с) и обозначается f(c), то есть f(c)= .

Теорема 4 (теорема Безу). Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f(x) K[x], c K. Тогда существует q(x) K[x]: f(x)=(x-c)q(x)+f(c).

Доказательство.

Заметим вначале, что kℕ xⁿ-cⁿ=(x-c)(x^n-1+x^n-2c+…+c^n-1) (1)

Пусть f(x)= a₀+a₁x+…+a_nxⁿ K[x]

f(c)= a₀+a₁c+…+a_ncⁿ

f(x)-f(c)= a₁(x-c)+a₂(x²-c²)+a₃(x³-c³)+…+a_n(xⁿ-cⁿ)=(1)=

=(x-c)(a₁+a₂(x+c)+a₃(x²+xc+c²)+…+a_n(x^n-1+x^n-2c+…+c^n-1)).

Таким образом, f(x)-f(c)=(x-c)q(x), где

q(x)=a₁+a₂(x+c)+a₃(x²+xc+c²)+…+a_n(x^n-1+x^n-2c+…+c^n-1) , deg q(x)=n-1

f(x)=(x-c)q(x)+f(c). Теорема доказана.

Определение 8. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f(x) K[x]. Элемент с K называется корнем многочлена f(x), если f(c)=0.

Следствие 4.1. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей,

f(x) K[x], c K. Тогда с - корень f(x) f(x) кратен (x-c).

Доказательство. Пусть c - корень f(x) f(с)=0 f(x)=(x-c)q(x), где q(x) K[x] f(x) делится на (x-c). Следствие доказано.

Сравнивая (1) из теоремы 4 с (1) из теоремы 6 (см. далее п.7), получим

Следствие 4.2. При делении многочлена f(x) на (x-c) получается остаток r, равный f(c).

Определение 9. Пусть f(х) K[x], K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, с - корень f(x). Число k называется кратностью корня c многочлена f(x), если f (х-с)^к, но f не кратен (х-с)^k+1.

В этом случае пишут (x-c)^k ┬ f(x) - данная запись означает, что (х-с)^k - это наибольшая степень (х-с), которая делит f(х).

Замечание 2. Если k =1, то с называют простым корнем многочлена f(x).