9. Деление многочлена на (х-с). Схема Горнера.

Пусть F - поле, f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+a_n-1x+a_n∈F[x] – многочлен, записанный по убывающим степеням.

Пусть с∈F. Разделим f(x) на (х-с). По теореме Безу существует q(x)∈F[x]: f(x)=(x-c)·q(x)+f(c) (1), где f(c)=r – остаток при делении. Из доказательства теоремы Безу следует, что deg q(x)=n-1.

Пусть q(x)=b₀x^n-1+b₁x^n-2+…+b_n-2x+b_n-1. Подставим в (1) выражения для f и q:

(2) a₀xⁿ+a₁x^{n -1}+…+a_{n -1}x+a_n=(x-c)·(b₀x^{n -1}+b₁x^{n -2}+…+b_{n -2}x+b_{n -1})+ f(c).

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях переменной:

a0=b0	b0=a0
a1=b1-b0c	b1=b0c+a1
a2=b2-b1c	b2=b1c+a2
… (3)	… (4)
an – 1=bn –1-bn –2c	bn -1=bn -2c+an -2
an=r-bn –1c	r =bn -1c+an

Система (4) позволяет разделить многочлен f(x) на (х-с), т.е. получить коэффициенты частного и остаток. Систему (4) удобно записывать в виде схемы, которая называется схемой Горнера.

коэффициенты f(x)

	a0	a1	a2	…	an -1	an
c	b0= a0	b1=a0c+a1	b2=b1c+a2	…	bn -1=bn -2c+an -2	f(c) =bn -1c+an

коэффициенты q(x)

10. Разложение многочлена по степеням (х-с)

Пусть F - поле, f(x)=a₀ xⁿ+a₁x^n-1+…+a_{n -1}x+a_n∈F[x], c∈F. Найдем разложение многочлена f(x) по степеням (x-с), т.е. найдем представление f(x) в виде

f(x)=d₀(x-c)ⁿ+d₁(x-c)^n-1+ d₂(x-c)^n-2+…+ d_{n -1}(x-c)+d_n .

Разделим f(x) на (x-c), при этом получим неполное частное q₁ и остаток r₀. Далее, разделим частное q₁ на (x-c)? получим частное q2r1, и т.д.:

f(x)=(x-c)·q₁(x)+r₀, deg q₁(x)= n -1

q₁(x)=(x-c)·q₂(x)+r₁, deg q₂(x)= n -2

(1) ….

q_n-2(x)=(x-c)·q_{n -1}(x)+r_n-2, deg q_n-1(x)= n-(n-1)=1

q_n-1(x)=(x-c)·q_n(x)+r₁,( где q_n(x)=a₀), deg q_n(x)= n–n=0

Из (1) следует, что f(x) =(x-c)q₁+r₀ =(x-c)·((x-c)·q₁+r₁))+r₀ =(x-c)²q₂+(x-c)r₁+r₀ =(x-c)²((x-c)·q₃+r₂)+(x-c)·r₁+r₀ =(x-c)³q₃+(x-c)²r₂+(x-c)·r₁+r₀ =…=

=(x-c)^n-1q_n-1+(x-c)^n-2r_n-2+…+(x-c)²r₂+(x-c)r₁+r₀ =(x-c)ⁿa₀+(x-c)^n-1r_n-1+…+(x-c)²r₂+(x-c)·r₁+r₀.

Таким образом, f(x)=a₀(x-c)ⁿ+r_n-1(x-c)^n-1+…+r₂(x-c)²+r₁(x-c)+r₀ (2) - разложение f(x) по степеням (x-c). Формулу (2) удобно получать с помощью схемы Горнера.

11. Неприводимые над полем многочлены и их простейшие свойства. Основная теорема о многочленах

Определение 13. Многочлен f(x) положительной степени над полем F называется неприводимым над , если он не допускает представления в виде произведения двух многочленов над полем меньшей степени.

Определение 14. Многочлен f(x) положительной степени над полем F называется приводимым над F, если он допускает представление в виде произведения двух многочленов над полем меньшей степени.

Примеры.

1. f(x) = x + 1 – неприводим над ℚ, ℝ, ℂ.

2. f(x) = x² + 1 = ( x – i )(x + i ) – приводим над ℂ, неприводим над ℝ, ℚ.

3. f(x) = x⁴ + 1 = x⁴ + 2 x² + 1 – 2x²=( x² + 1 - x )( x² + 1 + x ) – приводим над ℝ, ℂ.