Простейшие свойства неприводимых многочленов

Лемма 1. Многочлен первой степени неприводим над любым полем.

Доказательство. Пусть F – поле, f(x) F[x], deg f(x) = 1. Докажем, что f(x) неприводим над F. Допустим, что f(x) приводим над F f(x)=f₁(x) , где f₁(x), , причем deg f₁ (x) < deg f deg f₁ (x) < 1 и аналогично, deg < 1 deg f₁ (x) = 0 и deg = 0 deg f = deg deg f₁ + deg f₂ = 0. Противоречие. Допущение неверно f(x) неприводим над F. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть F – поле, - неприводимые над F многочлены. Если , то ~ .

Лемма 3. Пусть p(x) - неприводимый над F многочлен. Если p(x) q(x), то либо q(x) F^#, либо q(x) ~ p(x).

Лемма 4. Пусть F – поле, f₁(x),…,f_n(x) F[x], p(x) – неприводимый над F многочлен. Если ( ) p(x) , то хотя бы 1 из множителей f₁, f₂,…, f_n кратен p(x), то есть i,

Доказательство проводится методом математической индукции.

Теорема 12. (Основная теорема о многочленах). Любой многочлен положительной степени над полем F допускает представление в виде

f = p₁·_…·p_k (1) , где kℕ, p_i – неприводимыe над F многочлены,

причем такое представление единственно с точностью до порядка следования множителей и ассоциированности.

Доказательство. 1) Существование. Пусть f(x) F[x] и deg f(x)=n>0. Доказательство проведем методом математической индукции по параметру n.

1. Пусть n=1 f(x) неприводим над F ⇒ f(x)=f(x) - искомое представление.

2. Допустим, что утверждение верно для любого многочлена положительной степени < n над полем F.

3. Докажем утверждение для многочлена f(x). Если f(x) неприводим над F, то f(x)=f(x) –искомое представление. Пусть f(x) приводим над F f(x)=f₁(x) , где f₁(x),f₂(x) F[x] и 0 < deg f_i < n, i= . По предположению индукции, f₁(x) = p₁(x)· p₂(x) · …·p_r(x) и f₂(x)=q₁(x) ·…·q_s(x) – представление и в виде (1), как произведения неприводимых над многочленов f = f_{1 ·} f₂ = p₁·_…·p_r· q₁·_…·q_s – искомое представление.

Из 1-3 по методу математической индукции утверждение верно для любого n ℕ.

2) Единственность. Пусть f(x)=p₁(x)·_…·p_r(x) и f(x)=q₁(x)·_… ·q_s(x) – требуемые различные представления (2). Так как r,s ℕ, то либо r s, либо r s. Пусть, например, r s.

Так как левая часть (2) кратна p₁ (q₁·_…·q_s) p₁ по лемме 4 хотя бы один из множителей кратен p₁. Так как множители можем менять местами, то будем считать, что q₁ p₁ по лемме 2 p₁~q₁ и по лемме 3 q₁=p₁·a₁ , где a₁ F^# ⇒ p₁·_…·p_r=a₁ · p₁· q₂·_…·q_s, (3). Так как левая часть (3) кратна р₂, то, как и выше, получим р₂~q₂ и р₂=q₂·a₂ , где a₂ F^#, причем (4) и т.д., через конечное число шагов получим 1=а₁·a₂·_…·q_r+1·_…·q_s (5). Допустим, что r<s , тогда в правой части (5) существуют многочлены q_r+1,_…,q_s ⇒ 1 q_r+1 ⇒ deg 1 ≥deg q_r+1⇒ deg q_r+1≤0 Противоречие с определением 13. Значит, в правой части (5) многочлены q_r+1,_…,q_s отсутствуют. А это означает, что r=s.

Кроме того, в ходе доказательства было получено, что p₁~q₁ , р₂~q₂ … р_r~q_r .

Таким образом, два представления многочлена f(x) состоят из одного и того же количества множителей, причем множители совпадают с точностью до порядка следования множителей и ассоциированности.

Теорема доказана.

Определение 15. Пусть F - поле. Многочлен f(x)=а₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n F[x] называется нормированным или приведенным, если а₀=1.