3 Теоретические сведения
3.1 Сведения о matlab
MATLAB - это язык программирования сверхвысокого уровня, предназначенный для технических вычислений. Он включает в себя вычисления, визуализацию и программирование в легкой для использования среде, где задачи и решения представлены в общей математической форме. MATLAB является интерактивной системой, в которой основные элементы данных представлены массивами, не требующими предварительного задания размерности. Это позволяет решать множество технических задач, особенно в матричной и векторной форме, а также писать программу на традиционных скалярных языках, таких как Си или Фортран.
Название "MATLAB" произошло от сокращения слов "matrix laboratory". Система MATLAB состоит из пяти основных частей:
- Язык программирования MATLAB. Это матрично-массивный язык высокого уровня с управлением состоянием, функциями, структурами данных, входом/выходом, и объектно-ориентированным программированием.
- Рабочая среда MATLAB. Это графический интерфейс, с которым работает пользователь. Включает рабочий стол MATLAB, командное окно, редактор и отладчик файлов MATLAB, справочный броузер.
- Графическая система MATLAB. Содержит команды высокого уровня для двухмерного и трехмерного представления данных, обработки изображений, анимации. Также содержит набор команд низкого уровня, позволяющих пользователю построить собственный интерфейс.
- Библиотека математических функций MATLAB. Содержит набор вычислительных алгоритмов, начиная с элементарных арифметических функций (сложение/вычитание, тригонометрические функции) и заканчивая сложными функциями, такими как обращение матриц и преобразования Фурье.
- Интерфейс прикладных программ MATLAB. Эта библиотека позволяет писать программы на языках Си и Фортран, взаимодействующие с MATLAB. Включает в себя устройства вызова из MATLAB (динамической связи), вызова MATLAB как вычислительного механизма, и для работы с МАТ-файлами.
Simulink является программой для имитационного моделирования и анализа динамических систем, входящей в состав пакета MATLAB. Simulink позволяет производить построение модели в виде унифицированных блоков на экране компьютера и может работать с линейными, нелинейными, непрерывными, дискретными моделями или их сочетаниями с большим числом переменных.
3.2 Необходимые сведения из теории сау
Типовыми динамическими звеньями САУ являются звенья, процессы в которых описываются линейными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков с постоянными коэффициентами и в общем случае имеют следующий вид:
(1)
где
- соответственно входной и выходной
сигналы звена;
;
- постоянные коэффициенты.
Данное уравнение дает возможность определить передаточную функцию типового звена в виде
(2)
Анализ
возможных вариантов задания коэффициентов
передаточной функции (2) показывает, что
к типовым звеньям нулевого и первого
порядка, т.е. к звеньям, описываемым
уравнениями вида (1) при
,
относятся
следующие
-
Безынерционное звено (при
)
-
Дифференцирующее звено (при
)
где
.
-
Форсирующее звено (при
)
, где
-
Интегрирующее звено (при
)
, где
-
Апериодическое звено первого порядка
(при
)
, где
.
-
Реальное дифференцирующее звено (при
)
, где
Из
типовых звеньев второго порядка
наибольшее применение нашло колебательное
звено при
с передаточной функцией следующего
вида:
где
.
Рассмотренная совокупность типовых динамических звеньев первого и второго порядков оказывается достаточной для построения структуры практически любой линейной САУ. При этом сложные реальные звенья могут заменяться последовательным или параллельным соединением нескольких типовых звеньев.
Временными
характеристиками являются взаимосвязанные
переходная
и весовая
функции, представляющие собой реакции
исследуемых звеньев на типовые воздействия
в виде единичной ступенчатой функции
и
-функции
.
При этом переходная функция дает
возможность оценить устойчивость и
качество процессов управления,
происходящих в исследуемых звеньях при
скачкообразных входных воздействиях.
Частотные характеристики, основанные на использовании преобразования Фурье, позволяют оценить происходящие в звеньях процессы управления не только при скачкообразных, но и при любых других входных сигналах, действующих в реальных условиях.
При
этом любой входной сигнал
представляется в виде суммы гармоник
различных частот с определенными,
соответствующими данному сигналу
амплитудами и фазами, а реакция на сумму
входных гармоник, т.е. выходной сигнал
равен сумме реакций на каждую из них.
Для
отдельной гармоники на входе линейного
звена
реакцией будет совокупность вынужденной
и переходной составляющих, последняя
из которых по истечении некоторого
времени затухает, и на выходе звена
установится синусоидальный сигнал той
же частоты, что и на входе, т.е.
Реакция звена на гармоники различных частот характеризуется его комплексным коэффициентом передачи, который представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФХ) звена определяется следующим образом:
,
где
и
- соответственно амплитудная (АЧХ) и
фазовая (ФЧХ) частотные характеристики
исследуемого звена.
Подставляя выражение для входного и выходного сигналов звена в (3.1), получим уравнение:
дающее возможность рассчитать АФХ звена через коэффициенты дифференциального уравнения (1) следующим образом:
(3)
где
- соответственно вещественная (ВЧХ) и
мнимая (МЧХ) частотные характеристики
исследуемого звена. При этом очевидны
следующие соотношения:
(4)
Из (2) и (3) видно, что для получения АФХ исследуемого звена достаточно использовать соотношения (4) и его передаточную функцию
.
Таким
образом, АФХ, вид которой иллюстрируется
рисунке 2.1, представляет собой годограф
конца вектора
,
положение которого определяется фазой
в
декартовой системе координат
при изменении частоты
Рисунок 3.1 - Вид амплитудно-фазовой частотной характеристики
Кроме
АФХ звеньев в теории автоматического
управления широкое распространение
нашли логарифмические амплитудные
(ЛАХ) и фазовые (ЛФХ) частотные характеристики
(ЛЧХ). При их построении по оси абсцисс
откладывается частота в логарифмическом
масштабе, а по оси ординат -величина
в децибелах и
.
При этом наибольшее применение получили
асимптотические ЛАХ.