15.Эргодическое свойство стационарных процессов.
До сих пор характеристики случайного процесса были определены через статистические средние значения большого числа реализаций в ансамбле идентичных систем. Оказывается для большинства случайных процессов являющихся стационарными в узком смысле, указанные характеристики можно получить путём усреднения соответствующих величин для одной реализации за достаточно большой промежуток времени. Такая возможность оправдана для однородных во времени процессов, то есть одна реализация достаточно большой продолжительности может содержать все сведения о свойствах случайного процесса. Про такие процессы говорят, что они обладают эргодическим свойством.
Необходимым и достаточным условием эргодичности стационарного процесса является то, что его корреляционная функция в пределе при равно 0:
-условие
эргодичности.
Z (t)-функция стационарного случайного эргодичности процесса (t).
Z(t) является стационарным и удовлетворяет условиям эргодичности, тогда
<z(t)>=
;
-среднее
значение одной реализации за Т.
*
Обе части усреднили статистический:
Дисперсия случайной
величины
стремится
к нулю с ростом Т.
показывает
что вычисления (t)
необходимо знать корреляционную функцию
среднего значения z. Однако
есть два частных случая:
1) Т<<
2) Т>>
,
.
Стационарный процесс
z(t)
удовлетворяет условию
.
Таким образом с ростом Т случайная
величина
стремится к не случайной величине:
-следствие
эргодического свойства.
16.Спектральная плотность. Теорема Хинчина-Винера.
Введём понятие спектральной плотности S() стационарного процесса (t) определив её как преобразование Фурье от автокорреляционной функции:
*
при =0
получили выражение для дисперсии:
.
Из условия для
корреляционной функции
следует,
что спектральная плотность больше или
равна нулю при всех значениях частот.
Если понимать под (t) флуктуационный ток (напряжение), то величину можно рассматривать как среднюю мощность на сопротивление 1 Ом. Часть этой мощности S()d/2 относится к составляющим спектром, заключённым между и +d. Поэтому функция S() характеризует распределение мощности по спектру. Функцию S() называют энергетическим спектром или спектром мощности, т.к. она имеет размерность энергии.
Пара преобразований со * получено одновременно Хинчином и Винером называется формулой Хинчена-Винера. Данная пара обладает теми же свойствами что и преобразование Фурье. В частности, чем шире спектр S(), тем уже корреляционная функция k().
Введём эквивалентную ширину спектра:
,
где
,
-
максимальная спектральная плотность.
Иногда рассматривают
нормализованную спектральную плотность
S()=
.
Разделив выражение со * на
,
получим:
Используя свойство чётности автокорреляционной функции, формулу со * можно записать:
.
Введём понятие
физической спектральной плотности для
частот f с учётом того,
что
:
.
В отличие от спектрального
детерменисткого анализа спектральная
плотность не несёт информации о фазах
отдельных спектральных составляющих.
Спектральную плотность можно определить
следующим образом: рассмотрим ансамбль
реализаций стационарной функции с
нулевым средним значением Т причём
каждая реализация имеет достаточно
большую длительность Т. Введём формально
спектральную функцию
.
комплексно
сопряжённая функция с F(),
тогда
Статистически усредним левую правую часть:
Введя новую переменную
=t-
после некоторых преобразований получим:
Поделив обе части на
Т
и учитывая определение спектральной
плотности приходим к формуле:
-эту
формулу можно рассматривать как
определение спектральной плотности
функции.