3 Замкнутая система

ЗАДАНИЕ 5

Замкнуть систему, положив  (t) = k  ((t) - ₀(t)),где k - коэффициент усиления регулятора, ₀(t))- устоявшееся положение. Представить разомкнутую линеаризованную систему в векторно-матричной форме для непрерывного и дискретного времени , X_k+1=A_Δx_k+B_Δu_k. Представить замкнутую линеаризованную систему в векторно-матричной форме для непрерывного времени: dx/dt=Ax;Δt=0.01

Разомкнутая система имеет вид:

Для разомкнутой системы веторно-матричная форма для непрерывного времени имеет вид ,

Для разомкнутой системы веторно-матричная форма для дискретного непрерывного времени имеет вид , где:

Замыкаем разомкнутую систему:

Замкнутая линеаризованная система в векторно-матричной форме для непрерывного времени имеет вид: , где

Замкнутая линеаризованная система в векторно-матричной форме для дискретного времени

Задание №6

Оценить управляемость системы(14.) Составить характеристическое уравнение системы. На основе критерия Рауса - Гурвица определить значение коэффициента k = k₀, соответствующее пределу устойчивости линеаризованной замкнутой системы.

Процессы в динамической системе называются управляемыми, если на каждую переменную состояния х_i(t) можно целенаправленно воздействовать с помощью вектора управления в течение всего интервала времени управления.

Если какая-либо переменная состояния не зависит от управления, то система не является управляемой.

Процесс Х(t) называется наблюдаемым, если каждая переменная х_i(t) может быть определена на основе наблюдения выходного сигнала У(t).

Система дифференциальных уравнений размерности n управляема, если ранг составной матрицы K=[ B | AB | A²B | … | A^n-1B] равен n. Для n=3 составная матрица имеет вид K=[ B | AB | A²B] .

Так ранг матрицы К соответствует размерности системы, система дифференциальных уравнений управляема.

Согласно критерию Рауса-Гурвица, система находится на границе устойчивости, если для этой системы существует, хотя бы один определитель Гурвица, равный 0 (остальные неотрицательны). Чтобы построить определители Гурвица необходимо записать характеристическое уравнение

системы, исходя из условия: . Для замкнутой системы с матрицей А(k):

Матрица Рауса-Гурвица составляется по правилу:

1. Состоит из коэффициентов.

2. По диагонали выписываются коэффициенты от а до а_n.

3. Вниз от этих коэффициентов выписываются коэффициенты с меньшим индексом.

4. Вверх выписываются коэффициенты с большим индексом.

5. Все остальные элементы нули.

Если а0 имеет отрицательное значение, то домнажаем все характеристическое уравнение на -1.

Для нахождения границы устойчивости, достаточно, чтобы а_n = 0.

а_{n =}

Получаем, что k₀ = 0,13134 предел устойчивости заданной системы.

Матрица Рауса-Гурвица имеет вид:

Считаем определители системы:

Т.к. Δ1 > 0 и Δ2 > 0, а Δ3 = 0, то система находимся на границе устойчивости.

Под устойчивостью в широком смысле понимается способность для системы возвращаться в состояния равновесия после того как будут устранены причины, которые вывели ее из данного состояния.