4 Переходный процесс в замкнутой системе задание №7

Найти корни характеристического уравнения системы (14) и исследовать перемещение корней на комплексной плоскости при варьировании коэффициента усиления k (k=*k0, =0.9, 0.8, 0.7, 0.6). Построить траекторию движения корней.

Найдем корни характеристического уравнения для замкнутой системы:

k=k0+α

При α=0.9, k=0.12: λ₁=-38.14, λ₂=-1.02, λ₃=-0.12;

При α=0.8, k=0.11: λ₁=-38.15, λ₂=-0,84, λ₃=-0.3;

При α=0.7, k=0.1: λ₁=-38.15, λ₂=-0.57+0.23i, λ₃=-0.57- 0.23i;

При α=0.6, k=0.08: λ₁=-38.15, λ₂=-0.526 + 0.42i, λ₃=-0.526 - 0.42i.

Поведение движения корней при собственных числах:

λ=α+β*i, где i= .

При α<0, при β=0, затухающие апериодические движения;

При α>0, при β=0, неустойчивые апериодические движения;

При α<0, при β>0, затухающие колебательные движения;

При α=0, при β>0, не затухающие колебательные движения;

При α=0, при β=0, нейтральное движения (по прямой);

При α>0, при β>0, расходящиеся колебательные движения;

Рисунок 6 - График перемещения первого собственного числа

Из рисунка 6 видно, что корню λ₁ соответствует затухающее апериодическое движение.

Рисунок 7 - График перемещения второго собственного числа

Из рисунка 7 видно, что:

• при k=0.12 и k=0.11 корню λ2 соответствует затухающее апериодическое движение;

• при k=0.08 и k=0.1 – затухающее колебательное движение

Рисунок 8 - График перемещения второго собственного числа

Из рисунка 8 видно, что:

• при k=0.12, k=0.11, корню λ3 соответствует затухающее апериодическое движение;

• при k=0.1 и k=0.08 корню λ3 соответствует затухающее колебательное движение.

Задание №8

Построить переходный процесс в замкнутой системе, при возмущении по * (положив *=1.1₀ и начальные условия: t=0, (0)=1.1₀, (0)= 0). Уравнение решить аналитически, выполнив спектральное разложение матрицы А, использовав собственные числа и вектора матрицы А.

Для замкнутой системы при k=k0 матрица А имеет вид:

Вектор х называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число λ, что выполняется равенство: Ах = λх, то есть результатом применения к х линейного преобразования, задаваемого матрицей А, является умножение этого вектора на число λ. Само число λ называется собственным числом матрицы А.

Найдем собственные числа системы:

Собственными векторами называют вектор-столбцы, которые умножаются на матрицу. Более точно эти вектора называются правыми собственными векторами. Но можно определить и другой набор собственных векторов-строк, которые умножаются на матрицу слева и удовлетворяют равенству: x*A = l*x. Такие векторы называются левыми собственными векторами.

Транспонируя это соотношение, можно увидеть, что каждый левый собственный вектор A совпадает с правым собственным вектором от транспозиции A. Поскольку детерминант матрицы совпадает с детерминантом от ее транспозиции, собственные значения для правых и левых собственных векторов будут одними и теми же.

Если матрица симметрична, то правый и левый собственные вектора являются транспозицией друг друга, т.е. имеют одни и те же численные компоненты.

Найдем собственные вектора для системы:

Для построения переходных процессов уравнение имеет вид:

В замкнутой системе нет воздействия, поэтому переходный процесс для замкнутой системы имеет вид:

Исходя из этого, находим:

Подставляем собственные числа и полученные векторы в уравнение переходного процесса:

В результате получаем графики X_i, представленные на рисунках 9, 10.

Рисунок 9 – График ω(t) Рисунок 10 – График μ(t)