5 Частотные характеристики системы задание №9

Используя преобразование Лапласа, получить передаточные функции разомкнутой системы (14) по каналу ux¹

Передаточная функция – это отношение сигнала на выходе системы к сигналу на её входе, а из условия получается, что необходимо получить соотношение: . Разомкнутая система имеет вид:

Применим к уравнениям преобразование Лапласа:

Выразим переменную Δµ из нижнего уравнения и поставим верхнее уравнение. Затем выражаем ΔW. Полученная передаточная функция разомкнутой системы:

Задание №10

Выписать выражения для амплитудно-фазовой, амплитудной, фазовой, вещественной и мнимой частотных характеристик для разомкнутой системы . Построить годограф АФЧХ и графики характеристик A(), (), Re(), Im() .

Передаточная функция разомкнутой системы равна

Заменим в передаточной функции p на i*ω, где :

Откуда получаем выражения для действительной частотной характеристики (ДЧХ):

Для мнимой частотной характеристики (МЧХ):

График действительной частотной характеристики представлен на рисунке 11, график мнимой частотной характеристики представлен на рисунке 12.

Рисунок 11 – График действительной частотной характеристики

Рисунок 12 – График мнимой частотной характеристики

Для амплитудной частотной характеристики(АЧХ):

Рисунок 13 – График амплитудной частотной характеристики

Для фазовой частотной характеристики(ФЧХ):

График фазовой частотной характеристики представлен на рисунке 14:

Рисунок 14 – График фазовой частотной характеристики

6 Критерии устойчивости найквиста и михайлова задание №11

Оценить устойчивость разомкнутой системы по критерию Найквиста и замкнутой системы по критерию Михайлова. Определить запас устойчивости системы по амплитуде и по фазе используя годограф.

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы. Согласно данному критерию, замкнутая система устойчива, если годограф разомкнутой системе при росте w от 0 до бесконечности не охватывает точку (0,-1). Как видно из рисунка 16, годограф АФЧХ не охватывает точку (0, -1), следовательно, замкнутая система устойчива.

Найдем запас устойчивости по амплитуде. Для этого рассмотрим в увеличенном масштабе график АФЧХ в районе пересечения с осью ОХ:

Рисунок 16 - График АФЧХ в районе пересечения с осью ОХ

Рассчитаем точку пересечения графика АФЧХ с осью Re.

Получили точку пересечения (-0.13, 0) отсюда получаем запас устойчивости по амплитуде:

V = 1-0.13 = 0.87.

Н айдем запас устойчивости по фазе. Для этого найдем пересечение АФЧХ с единичной окружностью:

Рисунок 17- График АФЧХ в районе пересечения с единичной окружностью

Получили точку пересечения (-0.815,-0.387). Зная ее координаты, найдем запас устойчивости по фазе:

ω=arctan(-0.387/-0.815)=25,4⁰.

Согласно критерию устойчивости Михайлова, если система устойчива, то годограф Михайлова по мере возрастания частоты от 0 до бесконечности, проходит против часовой стрелки последовательно n квадрантов (n – размерность системы), не пропуская ни одного. В нашем случае n=3.

Характеристический многочлен замкнутой системы , где

имеет вид:

Заменим λ на i*ω, где :

Построим годограф Михайлова при k=0.9*k0=0.12

На рисунке 18 представлен годограф Михайлова, на рисунке 19 годограф Михайлова, увеличенный

Рисунок 18– Годограф Михайлова Рисунок 19 – годограф Михайлова,

увеличенный

На графиках видно, что замкнутая система устойчива по критерию Михайлова, т.к. годограф проходит против часовой стрелки последовательно 3 квадранта комплексной плоскости и количество уравнений системы равно3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результатом выполнения курсового проекта стало закрепление знаний по дисциплине «Основы теории управления», приобретены практические навыки для исследования поведения управляемой динамической системы, описанной системой дифференциальных уравнений. Были изучены возможности математических программных пакетов