Объяснение парадокса

Эксперимент ЭПР, с точки зрения его авторов, позволяет одновременно точно измерить координату и импульс частицы. В то же время — в квантовой механике утверждается, что таковое невозможно. На основании этого Эйнштейн, Подольский и Розен сделали вывод о неполноте квантовой теории. На самом деле эксперимент, описанный ЭПР, не противоречит квантовой механике и легко анализируется с её помощью. Кажущееся противоречие возникает потому, что термин «измерение» имеет несколько различный смысл в классической и квантовой теории.

Измерение и состояние

В квантовой механике в результате измерения происходит изменение состояния системы. Если у частицы измеряется импульс  , то она переходит в состояние, описываемое волновой функцией  . Повторные измерения импульса в этом состоянии всегда будут приводить к одному и тому же  . В этом смысле можно говорить, что частица в состоянии   характеризуется определённым значением импульса  .

В состоянии   можно сколь угодно точно измерить координату частицы, обнаружив её с вероятностью, пропорциональной   в некоторой точке пространства  . Однако состояние частицы после такого измерения изменится: она перейдёт в состояние с определённым значением координаты  . В частности, если после измерения   снова измерить импульс, то получится значение, которое, скорее всего, будет отличаться от начального. Таким образом: 1) непосредственно перед измерением координаты, импульс имеет определённое значение; 2) в момент измерения (сколь угодно короткого) получается определённое значение координаты. Однако отсюда не следует, что координата и импульс в момент измерения  имеют совместные, одновременно известные значения.

В эксперименте ЭПР после измерения импульса у первой частицы, вторая частица также переходит в состояние с определённым импульсом. У неё можно измерить координату, однако сразу после такого измерения импульс частицы изменится, поэтому говорить, что произошло одновременное измерение координаты и импульса смысла не имеет.

Соотношение неопределённостей

Ограничения, накладываемые квантовой механикой на одновременное измерение координаты и импульса, можно выразить при помощи соотношения неопределённостей Гейзенберга  . Это неравенство имеет принципиально статистический смысл. Чтобы им воспользоваться, необходимо провести множество измерений координаты   и импульса   над различными частицами, находящимися в одном квантовом состоянии (т. н. ансамбль частиц). Усреднение полученных значений и вычисление среднеквадратичных отклонений от среднего даст значения   и  . Их произведение будет удовлетворять неравенству Гейзенберга, в каком бы состоянии ни был приготовлен ансамбль.

Эксперимент ЭПР проводится однократно, поэтому он не может противоречить соотношению неопределённостей. Вычислить на одном эксперименте среднеквадратичное отклонение нельзя. Если же эксперимент ЭПР повторять многократно для ансамбля распадающихся систем, находящихся в одном и том же состоянии, то усреднение результатов измерений будет удовлетворять соотношению неопределённостей. В этом отношении противоречия с квантовой механикой также не возникает.