2.3. Когерентные состояния электромагнитного поля

Помимо введенных ранее энергетических, координатных и импульсных состояний электромагнитного поля, важную роль играют также когерентные состояния , определяемые равенством

, (2.67)

где –– произвольное комплексное число, которое будем называть параметром когерентного состояния. Определение (2.67) можно переписать в эквивалентной форме через бра-вектор и оператор рождения фотона:

. (2.68)

Здесь и далее будем опускать индекс моды . Когерентные состояния обладают непрерывным спектром, их собственные векторы образуют полный набор, но не ортогональны друг к другу. Можно показать, что модуль их скалярного произведения равен

. (2.69)

Физический смысл действительной и мнимой части параметра легко установить, если выразить оператор уничтожения фотона в определении (2.67) через операторы безразмерной обобщенной координаты и импульса по формуле (2.47) и затем умножить полученное выражение слева на бра-вектор . В результате имеем

, (2.70)

. (2.71)

Вычислим теперь среднее по когерентному состоянию от оператора числа фотонов . Пользуясь формулами (2.67) и (2.68), легко находим

. (2.72)

Пользуясь полнотой системы собственных векторов энергетических состояний, разложим по ним собственный вектор когерентного состояния. В соответствии с общей формулой (2.16) имеем

. (2.73)

Задача состоит в определении коэффициентом разложения . Для этого воспользуемся соотношением

, (2.74)

которое легко получить из определения оператора рождения фотона (2.18), подействовав им раз на вакуумное состояние поля . Из формулы (2.34) следует выражение для бравектора состояния , получающееся взятием эрмитовского сопряжения от обеих частей равенства (2.74). С учетом этого для коэффициента разложения находим

. (2.75)

При записи второго равенства в (2.75) был использован тот факт, что вектор когерентного состояния по определению (2.67) является собственным вектором оператора . Осталось определить величину . Это можно сделать, воспользовавшись условием полноты:

. (2.76)

В формуле (2.76) использовано равенство (2.39) для вероятности обнаружить фотонов в когерентном состоянии . Физический смысл (2.76) очевиден: полная вероятность обнаружить любое число фотонов в когерентном состоянии равняется единице. Подставляя (2.75) в формулу (2.76), находим для искомой величины выражение

. (2.77)

При записи правой части равенства (2.77) опущен несущественный для нашего изложения фазовый множитель.

Итак, разложение (2.73) имеет следующий вид:

. (2.78)

Отсюда, в частности, следует выражение для вероятности :

. (2.79)

Таким образом, вероятность обнаружения заданного числа фотонов в когерентном состоянии дается распределением Пуассона (2.79). Оно может быть переписано через среднее число фотонов, задаваемое формулой (2.72), в виде

. (2.80)

Как известно, дисперсия случайной величины, описываемой распределением Пуассона, равняется среднему значению этой величины, так что в нашем случае .

Рассмотрим теперь временную эволюцию когерентного состояния свободного электромагнитного поля. Воспользуемся для этого равенством (2.36), подставив в его правую часть полученное разложение когерентного состояния по энергетическим состояниям (2.78). Тогда с учетом равенства (2.37) находим

(2.81)

Итак, свободная эволюция электромагнитного поля во времени не изменяет характера когерентного состояния, а приводит лишь к временной эволюции параметра состояния . Другими словами, с течением времени продолжает выполняться равенство (2.67) с заменой . Этим свойством когерентные и энергетические состояния отличаются от координатных и импульсных. Действительно, можно показать, что последние типы состояний нарушаются временной эволюцией поля, т.е. перестают удовлетворять своему определению (2.52), (2.53).

Чтобы выяснить другое важнейшее характеристическое свойство когерентного состояния, установим явное выражение для его собственного вектора в координатном и импульсном представлении, т.е. найдем функции и . Для этого используем явный вид оператора уничтожения фотона в координатном представлении, следующий из формул (2.47), (2.42) –– (2.43) и (2.51): . Тогда уравнение (2.67) сводится к следующему:

. (2.82)

Решение данного уравнения может быть представлено в виде

, (2.83)

где . При записи правой части равенства (2.83) было использовано выражение (2.70). Аналогично (2.83) можно получить следующее выражение для собственного вектора когерентного состояния поля в импульсном представлении:

, . (2.84)

Для вероятностей обнаружить фиксированное значение обобщенной (безразмерной) координаты и фиксированное значение обобщенного (безразмерного) импульса в когерентном состоянии электромагнитного поля из (2.83) –– (2.84) имеем

, (2.85)

. (2.86)

Итак, в когерентном состоянии электромагнитного поля вероятность обнаружить заданное значение обобщенной координаты и импульса описывается распределением Гаусса, которое для безразмерных величин обладает дисперсией , т.е. и . Отсюда следует, что произведение квантово-механических неопределенностей обобщенной координаты и обобщенного импульса в когерентном состоянии поля равно

, (2.87)

т.е. согласно неравенству (2.60) достигает своей наименьшей величины. Это и есть характеристическое свойство когерентного состояния. Из него, в частности, следует, что когерентное состояние поля наиболее близко к классическому электромагнитному полю, для которого все квантово-механические неопределенности по определению равны нулю. Отметим, что лазерное электромагнитное поле лучше всего аппроксимируется когерентным состоянием.

Определим теперь энергетические состояния поля в координатном представлении, т.е. явный вид векторов . Для этого удобно начать с определения собственного вектора вакуумного состояния электромагнитного поля . Воспользуемся уравнением (2.29), которое в случае одной моды поля имеет вид

, (2.88)

где

(2.89)

–– гамильтониан поля в координатном представлении, явный вид которого следует из формул (2.42) –– (2.43), (2.51) и (2.61). Из равенств (2.88) –– (2.89) вытекает уравнение на собственный вектор энергетического состояния поля :

. (2.90)

Легко проверить, что для уравнение (2.90) имеет следующее решение:

. (2.91)

Множитель перед экспонентой в правой части (2.91) определяется из условия нормировки собственного вектора. Обратим внимание на то, что вакуумное энергетическое состояние (2.91) совпадает с когерентным состоянием поля (2.83), если параметр когерентного состояния равен нулю: . Действительно, тогда среднее значение обобщенной координаты тоже равно нулю: , и правая часть равенства (2.83) совпадает с правой частью (2.91), если положить .

Зная вакуумный вектор (2.91), можно получить все остальные векторы энергетических состояний поля, если воспользоваться равенством (2.74) и выражением для оператора рождения фотона в координатном представлении: . В результате имеем для энергетического состояния поля в координатном представлении равенство

, (2.92)

где символ обозначает оператор , примененный раз к стоящей справа от него функции.

Интересно проследить временную эволюцию когерентного состояния свободного электромагнитного поля в координатном и импульсном представлениях. Для этого достаточно воспользоваться равенствами (2.81), (2.83) –– (2.84) и (2.70) –– (2.71). Из (2.70) –– (2.71) и (2.81) следует временная зависимость средних значений обобщенной координаты и обобщенного импульса в когерентном состоянии:

, (2.93)

, (2.94)

где –– величина параметра когерентного состояния поля в начальный момент времени. С учетом (2.81) из (2.83) –– (2.84) получаем

, (2.95)

, (2.96)

где зависящие от времени средние значения координат и импульсов поля даются равенствами (2.93) –– (2.94).

Интересно изобразить возможные состояния электромагнитного поля на фазовой плоскости . На этой плоскости координатные состояния поля изобразятся вертикальными прямыми с абсциссой, равной заданному значению обобщенной координаты и полностью неопределенным импульсом. Аналогично импульсные состояния будут представлены горизонтальными прямыми с фиксированным значением импульса и полностью неопределенной координатой. Энергетическим состояниям (Фоковским) будут соответствовать окружности с центром в начале координат и радиусом, равным . В соответствии с формулами (2.83) –– (2.84) когерентные состояния поля на плоскости представляются кругами с радиусом . Центры этих кругов располагаются на окружности с центром в начале координат и радиусом, равным . Существуют еще фазовые состояния электромагнитного поля, в которых фиксирована фаза поля и полностью не определена его энергия. Эти состояния изобразятся лучами, исходящими из начала координат. Заметим, что в энергетических состояниях поля, наоборот, фиксирована энергия и полностью не определена фаза. Это является отражением того факта, что фаза и энергия поля (так же, как координата и импульс) являются сопряженными параметрами, связанными соотношением неопределенности типа (2.60). Наконец, вакуумное состояние поля будет представлено на фазовой плоскости кругом радиуса с центром в начале координат. Как отмечалось выше, это последнее состояние одновременно является энергетическим с числом фотонов, равным нулю, и когерентным с нулевым параметром .

В последнее время обсуждается возможность реализации так называемых сжатых состояний поля. В них квантовые флуктуации обобщенной координаты или обобщенного импульса могут быть меньше своих вакуумных значений (равных для безразмерных величин и ).