Задание 2
В двух партиях 86 и 84 – процент доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:
а) хотя бы одно бракованное;
б) два бракованных;
в) одно доброкачественное и одно бракованное.
Решение
Введем
в рассмотрение события: Аk
– событие, состоящее в том, что изделие
из k-й партии –
доброкачественное;
– событие, состоящее в том, что деталь
из k-й партии –
бракованное (k=1,2).
Из условия задачи следует, что
.
Тогда
.
а) Пусть событие А – событие, состоящее
в том, что среди двух изделий (взятых по
одному из каждой партии) хотя бы одно
бракованное, тогда
– событие, состоящее в том, что среди
двух изделий все доброкачественные.
Это событие можно представить следующим образом:
.
События
– независимы, поэтому вероятность
события
будет равна:
.
События А и противоположны, значит,
.
б) Пусть событие В – событие, состоящее в том, что среди двух изделий два бракованных.
Это событие можно представить следующим образом:
.
События – независимы, поэтому вероятность события В будет равна:
.
в) Пусть событие С – событие, состоящее в том, что среди двух изделий одно доброкачественное и одно бракованное. оно состоит из суммы двух несовместных событий:
Пользуясь тем, что события С1 и С2 несовместны, а Аk и - независимы, находим вероятность события С:
Ответ: а) 0,2776; 2) 0,0224; 3) 0,2552.
Задание 3
В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем первый завод поставляет 36%, второй – 34% и третий – 30% изделий. Среди изделий первого завода изделия I сорта составляют 89%, второго – 86%, третьего – 81%. Куплено одно изделие, причем оно оказалось I сорта. Определите завод, с которого наиболее вероятно поступило купленное изделие.
Решение
Обозначим через событие А={купленное изделие – первого сорта}.
С данным событием связаны следующие гипотезы:
Н1={изделие поступило в магазин с первого завода},
вероятность этой гипотезы
;
Н2={изделие поступило в магазин со второго завода},
вероятность этой гипотезы
;
Н3={изделие поступило в магазин с третьего завода},
вероятность этой гипотезы
.
Условные вероятности события А при наступлении гипотез равны
.
Найдем вероятность события А по формуле полной вероятности
Нам необходимо найти вероятность гипотез
Н1, Н2 и Н3
при осуществлении уже события А,
т.е. вероятности событий H1/A,
H2/A
и H3/A.
Находим их по формуле Байеса
.
Получим
Таким образом, купленное изделие I сорта вероятнее всего поступило с первого завода.
Ответ: купленное изделие I сорта вероятнее всего поступило с первого завода.
Задание 4
В партии из 9 изделий 5 изделий высокого качества. Случайно отбирается 3 изделия. Составить закон распределения случайной величины Х – числа изделий высокого качества среди отобранных. Найти математическое ожидание Х.
Решение
Случайная величина Х – число изделий высокого качества среди отобранных – может принимать значения 0;1;2;3.
Найдем, например, вероятность события Х=0.
Общее число изделий в партии равно 9. Из них случайно отбирается 3 изделия. Всего возможностей выбрать такое количество изделий равно числу сочетаний из 9 элементов по 3, т.е. С39. Возможностей выбрать 0 изделий высокого качества из 5 имеющихся есть С05, возможностей выбрать оставшиеся 3 изделия из 9–5=4 изделий не высокого качества есть С34. Общее число благоприятствующих нашему событию выборов есть С05* С34.
По классическому определению вероятности вероятность искомого события равна
.
Аналогично находим вероятности оставшихся событий:
Делаем проверку ∑рi=1:
– выполняется.
Тогда закон распределения случайной величины Х имеет вид
-
хi
0
1
2
3
pi
Находим математическое ожидание:
.
Ответ:
-
хi
0
1
2
3
pi
.