Задание 10

Используя данные задания №9 проверить гипотезу о нормальном распределении доходов акционерного общества и найти доверительный интервал для среднего уровня дохода. Уровни значимости принять по 0,05.

Решение

Выборочное среднее

Находим несмещенную оценку среднеквадратического отклонения:

.

Проверим с помощью критерия согласия Пирсона нулевую гипотезу Н₀ о том, что СВ Х распределена по нормальному закону при конкурирующей гипотезе Н₁, что СВ Х не распределена по нормальному закону. Определим вероятности

,

с которыми СВ попадает в интервал , а также теоретические частоты m_i=np_i (округляя их до целых). Для удобства расчетов составим таблицу

Из последней графы таблицы находим выборочное значение статистики критерия χ² по формуле χ²_набл= =9,17. Определим критическое значение критерия χ². Нормальный закон распределения содержит два определяемых параметра а и σ, поэтому l=2.

Количество интервалов статистического ряда k=10. Значит, число степеней свободы ν=k-l-1=10-2-1=7.

Для уровня значимости α=0,05 по таблице находим χ²_кр(0,05;7)=14,1. Поскольку χ²_набл<χ²_кр, то нулевая гипотеза Н₀ принимается, следовательно, случайная величина распределена по нормальному закону.

Доверительным для генерального среднего значения дохода является интервал, в котором с требуемой вероятностью находится среднее значение по генеральной совокупности . Точность оценки δ вычисляется по формуле

,

где s – исправленное выборочное среднеквадратичное отклонение; n – объем выборки; t_γ,n – находится по таблицам для критических точек распределения Стьюдента.

Однако при достаточно больших объемах выборки (обычно при n > 30) вместо распределения Стьюдента можно использовать нормальное распределение, и тогда вместо t_γ,n ищется величина t из соотношения 2Ф(t)=γ.

По таблицам для γ=0,95 находим t =1,96, тогда

Значит, доверительный интервал для среднего дохода будет равен

Литература

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: – Учебник. - 5-е изд., стереотип. - М.: Высш. шк., 1999. - 576 с.

3. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983. – 416 с.

4. Герасимович А.И. Математическая статистика. – Мн.: Выш. шк., 1983. - 279 с.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 1977. – 479 с.

6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: - Учеб. пособие. 5-е изд. - М.: Высш. шк., 1999. – 276 с.

7. Гурский Е.И. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. – Мн.: Выш. шк., 1984. – 223 с.

8. Жевняк Р.М., Карпук А.А., Унукович В.Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студентов. инж.-экон. спец. – Мн.: Харвест, 2000.-384 с.

9. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика/ Под ред. А.В. Ефимова. – М.: Наука, 1990. - 428 с.

10. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций/ Под ред. А.А.Свешникова. - М.: Наука, 1965. – 656 с.

11. Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и математической статистике/ Под ред. А.П.Рябушко. – Мн.: Выш. шк., 1992. – 191 с.

12. Справочник по теории вероятностей и математической статистике/ В.С.Королюк и др. – М.: Наука, 1985. – 640 с.

13. Харин Ю.С., Степанова М.Д. Практикум по ЭВМ по математической статистике. – Мн.: Университетское, 1987. – 304 с.

14. Аксенчик А.В., Волковец А.И. и др. Методические указания к практическим занятиям по курсу “Теория вероятностей и математическая статистика” для студентов радиотехнических специальностей. Ч.1. - Мн.: МРТИ, 1994. – 49 с.

15. Аксенчик А.В., Волковец А.И. и др. Методические указания к практическим занятиям по курсу “Теория вероятностей и математическая статистика” для студентов радиотехнических специальностей. Ч.2. - Мн.: МРТИ, 1995. – 47 с.

16. Аксенчик А.В., Волковец А.И. и др. Методические указания и контрольные задания по курсу “ Теория вероятностей и математическая статистика” для студентов всех специальностей БГУИР заочной формы обучения. - Мн.: БГУИР, 1999. – 61 с.

19