Задание 9

За 2003 г. получены группировки доходов одного из акционерных обществ:

№ группы	Группы доходов, руб.	Количество работников
1	От 12500 до 17500	20
2	От 17500 до 22500	32
3	От 22500 до 27500	40
4	От 27500 до 32500	48
5	От 32500 до 37500	80
6	От 37500 до 42500	60
7	От 42500 до 47500	48
8	От 47500 до 52500	32
9	От 52500 до 57500	24
10	От 57500 до 62500	16

Определить частоты, частости, накопленные частоты и накопленные частости для заданных статистических данных. Изобразить ряд графически в виде гистограммы, полигона и кумулятивной кривой. Вычислить среднюю арифметическую, медиану, моду, вариационный размах, среднее линейное отклонение, эмпирическую дисперсию, эмпирическое среднеквадратическое отклонение, эмпирические начальные и центральные моменты до третьего порядка включительно, эмпирический коэффициент асимметрии и эмпирический эксцесс.

Решение

В качестве значений признака Х – доходы работников одного из акционерных обществ – возьмем середины интервалов группировки доходов. Подсчитаем частоты, частости, накопленные частоты и накопленные частости для заданных статистических данных и результаты занесем в таблицу 1.

Таблица 1

i	Группы доходов, руб.	xi	Частоты, ni		Относительная частота, wi=ni/n		Плотность относительных частот, wi/h		Накопленная частота, nx		Накопленная относительная частота, nx/n
1	От 12500 до 17500	15000	20		0,05		0,00001		20		0,05
2	От 17500 до 22500	20000	32		0,08		0,000016		52		0,13
3	От 22500 до 27500	25000	40		0,1		0,00002		92		0,23
4	От 27500 до 32500	30000	48		0,12		0,000024		140		0,35
5	От 32500 до 37500	35000	80		0,2		0,00004		220		0,55
6	От 37500 до 42500	40000	60		0,15		0,00003		280		0,7
7	От 42500 до 47500	45000	48		0,12		0,000024		328		0,82
8	От 47500 до 52500	50000	32		0,08		0,000016		360		0,9
9	От 52500 до 57500	55000	24		0,06		0,000012		384		0,96
10	От 57500 до 62500	60000	16		0,04		0,000008		400		1
Итого				400		1		0,0002

Построим полигон частот, для чего в системе координат наносим точки, абсциссы которых равны значениям признака Х (середины соответствующих интервалов группировки), а ординаты – соответствующим им относительным частотам n_i. Полученные точки соединяем ломаной линией (рис.1):

Рис.1 – Полигон частот

Построим гистограмму относительных частот, для чего на оси абсцисс построим ряд сомкнутых прямоугольников, у каждого из которых основанием служит величина интервала признака, а высотой – плотность относительных частот . Расчеты приведены в таблице 1. Получим

Рис.2 – Гистограмма относительных частот

Построим кумуляту относительных частот, для чего в системе координат наносим точки, абсциссы которых равны значениям признака Х, а ординаты – соответствующим им накопленным относительным частотам n_х/n. Полученные точки соединяем ломаной линией (рис.3):

Рис.3 – Кумулята относительных частот

Для дальнейших вычислений составим расчетную таблицу.

Таблица 2

i	xi		ni		xini		x2ini		x3ini		|xi-xср|ni		(xi-xср)2ni		(xi-xср)3ni		(xi-xср)4ni
1	15000		20		300000		4500000000		67500000000000		431000		9288050000		-200157477500000		4313393640125000000
2	20000		32		640000		12800000000		256000000000000		529600		8764880000		-145058764000000		2400722544200000000
3	25000		40		1000000		25000000000		625000000000000		462000		5336100000		-61631955000000		711849080250000000
4	30000		48		1440000		43200000000		1296000000000000		314400		2059320000		-13488546000000		88349976300000000
5	35000		80		2800000		98000000000		3430000000000000		124000		192200000		-297910000000		461760500000000
6	40000		60		2400000		96000000000		3840000000000000		207000		714150000		2463817500000		8500170375000000
7	45000		48		2160000		97200000000		4374000000000000		405600		3427320000		28960854000000		244719216300000000
8	50000		32		1600000		80000000000		4000000000000000		430400		5788880000		77860436000000		1047222864200000000
9	55000		24		1320000		72600000000		3993000000000000		442800		8169660000		150730227000000		2780972688150000000
10	60000		16		960000		57600000000		3456000000000000		375200		8798440000		206323418000000		4838284152100000000
∑		400		14620000		586900000000		25337500000000000		3722000		52539000000		45704100000000		16434476092500000000
∑/n				36 550		1 467 250 000		63 343 750 000 000		9 305		131 347 500		114 260 250 000		41 086 190 231 250 000

Начальный момент порядка k находится по формуле

.

Центральный момент порядка k находится по формуле

.

По данным таблицы 2 находим выборочную среднюю

руб.

Из последней строки таблицы выпишем начальные моменты до 3-го порядка включительно и центральные моменты до 4-го порядка включительно.

α0=	36 550
α1=	1 467 250 000
α2=	63 343 750 000 000
μ1=	0
μ2=	131 347 500
μ3=	114 260 250 000
μ4=	41 086 190 231 250 000

Определяем размах вариации:

,

где – максимальное значение признака в совокупности,

– минимальное значение признака в совокупности.

Среднее линейное отклонение:

.

Дисперсия равна центральному моменту 2-го порядка:

.

Среднее квадратическое отклонение:

.

Мода – это величина признака Х, которая чаще всего встречается в совокупности. Для интервального вариационного ряда она находится по формуле

где

X_Mo – нижняя граница модального интервала (интервала с наибольшей частотой);

h – величина модального интервала;

n_M – частота модального интервала;

n_M-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

n_M+1 – частота интервала, следующего за модальным.

В нашем случае (таблица 1) модальный интервал – это интервал 32 500 – 37 500 руб. Поэтому

X_Mo = 32 500; h = 5 000; n_M =80; n_M-1 =48; n_M+1 =60.

Тогда мода будет равна

Медиана – это варианта, которая находится в середине вариационного ранжированного ряда. Для интервального вариационного ряда она находится по формуле

где

X_Me – нижняя граница интервала который содержит медиану (серединное значение суммарной накопленной частоты распределения);

h – величина медианного интервала;

Σn_i – сумма частот вариационного ряда;

S_Me-1 – сумма накопленных частот до медианного интервала;

n_Me – частота медианного интервала.

Из таблицы 1 делаем вывод, что медианный интервал – 32 500 – 37 500 руб.

Тогда

X_Me = 32 500; h =5000; Σn_i =400; S_Me-1 =140 ; n_Me = 80.

Медиана будет равна

Находим эмпирический коэффициент асимметрии

Находим эмпирический эксцесс

.