19.3. Построение матрицы экономико-математической

МОДЕЛИ ЗАДАЧИ. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ

ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Основой числовой модели экономико-математической задачи является матрица, содержащая основную информацию о модели­руемом объекте (явлении или процессе).

Матрица — это специальная таблица, содержащая смысловые или кодовые обозначения функции цели, переменных и ограни­чений, их числовое выражение в виде конкретных коэффициен­тов и ограничений. Каждой экономико-математической модели соответствует определенное расположение информации. При этом соблюдается установленный порядок заполнения и форми­рования матрицы.

Рассмотрим, как формируются матричные модели задач, ре­шаемых симплексным методом, и каков состав коэффициентов в них.

В экономико-математической задаче, решаемой симплексным методом, применяют два наиболее общих способа расположения элементов в матричной модели: прямоугольный и блочный.

Матричная модель с прямоугольным расположением инфор­мации представляет собой обычную таблицу с различным соот­ношением значащих и нулевых элементов (разной заполненнос­ти) (табл. 144).

442

144. Схема матричной модели с прямоугольным расположением информации

Номер огра-		Переменные величины			Тип огра­ничений	Объем огра-
ничения	*1	*,	X.	.Т,		ничении
1	«11	«12 Су		«1я	=	*1
2	«11	«22 °2У'		«2я	<	6,
;	«п	ай аи		«/л		6/
т	®та	«м2 «/«У		«ЙШ	>	Ьт
2	С\	С2	9	с„	—>	тах (тш)

Матричная модель с блочным расположением информации — это таблица, составленная как бы из прямоугольных матриц, обыч­но расположенных по диагонали. Каждому из блоков в экономико-математической задаче соответствуют свои значения правой части (столбец, коэффициенты которого в большинстве случаев указыва­ют на объем ограничений) и строки, содержащие коэффициенты целевой функции. Объединение блоков в единую экономико-мате­матическую модель обеспечивается связующим блоком.

Приведем схему записи матричной модели экономико-мате­матической задачи с блочным размещением информации (табл. 145).

145. Схема модели с блочным размещением информации (для двух блоков)

Номер		1-Й блок			2-Й блок		Тип ограни­чений	Объем
НИИ	Л'|	Х2	х,	х4	х5	*6		чений
1	"и	ат "12	<	—	—	—	<	А,(,)
2	"21	„(1) "22	с®	-	-	—	>	ь?
3	й(1) "31	„(1) «32	„т "33	—	-	-	=	ц»
4	—	—	-	"14	Й(2) "15	а(2) "16	<	А'2»
5	—	-	—	а'2' "24	а(2) "25	о<2) "26	>	/><2>
6 7 8 9	1	1	1	«34 1	а(2) "35 1	"36 1	II IV !Л II	/><2> *2 *3
2	ч	4	г(1) с3	с(2) с4	с5	с<2) С6	— тах (тт)

В каждом отдельном случае базовая экономико-математичес­кая модель может усложняться в той или иной степени путем введения ограничений, накладываемых на использование отдель­ных видов ресурсов или формирующих дополнительные условия и требования. Но при этом следует иметь в виду, что оптимиза­ционные землеустроительные задачи могут успешно решаться методами линейного программирования лишь в том случае, ког­да их содержание вписывается в такие матричные модели, кото­рые могут быть приведены к базовой.

Таким образом, при разработке основной матрицы экономи-

443

ко-математической модели можно выделить следующие группы исходных данных.

1. Технико-экономические коэффициенты, несущие основ­ную информацию о решаемой задаче, ау.

1. Планируемые объемы производства и размеры хозяйствен­ных ресурсов (земельных, материальных, денежных, трудовых), Ъ_г

1. Коэффициенты целевой функции задачи, с,-.

В матричной модели экономико-математических задач коэф­фициенты каждого условия (ограничения) записывают отдельной строкой. При этом коэффициент а у указывается в столбце соот­ветствующей переменной х,. Следовательно, ау одинаково отно­сится как к строке (строке-ограничению), так и к столбцу (столбцу переменной). Элементы, которые в матричной модели несут опре­деленную экономическую информацию в числовом выражении, принято называть технико-экономическими, обозначая их а у.

Иногда технико-экономические коэффициенты называют технолого-экономическими.

Технико-экономические коэффициенты в зависимости от на­значения подразделяются на нормативные, пропорциональности и связи.

Нормативные коэффициенты по экономическому содержанию, в свою очередь, делятся на коэффициенты по уровню затрат и уровню производства продукции.

Коэффициенты по уровню затрат представляют собой объем различных ресурсов, расходуемых на производство единицы продукции. К ним относятся: нормы высева, кормления скота, внесения органических и минеральных удобрений в расчете на 1 га посевов, поливные нормы, затраты труда и денежных средств на 1 га и др. Основой для их расчета являются технологи­ческие карты, а также фактические или прогнозируемые затраты, полученные с использованием производственных функций.

Коэффициенты по уровню производства разрабатываются на основании технологических карт, а также в результате обработки отчетных данных методами математичес­ кой статистики. Основными коэффициентами по уровню произ- ;= водства являются урожайность сельскохозяйственных культур, I, продуктивность скота и птицы и т. д. |

При получении нормативных технико-экономических коэф­фициентов могут быть использованы специально разработанные нормативные данные для определения природных и экономи­ческих условий хозяйств.

Все нормативные коэффициенты как по уровню производ­ства, так и по уровню затрат могут быть выражены в прямом (фи­зическом, натуральном) виде, а также как производные величи­ны. Например, затраты кормов на производство животноводчес­кой продукции можно выразить и в физической массе, и в про­изводных величинах (по содержанию питательных веществ).

444

Коэффициенты пропорциональности вводятся в матрицу по до­полнительным и вспомогательным ограничениям с целью обес­печения пропорциональности развития взаимосвязанных отрас­лей (при формировании ограничений сельскохозяйственных культур по предшественникам, доле кормов в рационе кормле­ния, условиям компенсации утраченной пашни при трансформа­ции).

Например, если обозначить через х_{ площадь озимых культур, а через х₂ площадь многолетних трав, занимающих в севообороте два поля, то ограничения по предшественнику озимых можно за­писать так:

х_{ < 0,5х₂, или х_{ — 0,5*2 ^ 0-

Значение а₀ = 0,5 в данном случае является коэффициентом пропорциональности.

Коэффициенты связи обозначают связь между получаемым значением переменной и объемом ограничения. Их используют при построении ограничений по гарантированным объемам про­изводства, размерам отраслей (когда требуется ограничить разме­ры отрасли ху< Ь-, или предусмотреть ее развитие ху > Ь,).

В большинстве случаев коэффициенты связи равны единице.

Для коэффициентов, записанных по строкам ограничений, устанавливают единицы измерения в соответствии со следующи­ми правилами о соизмеримости элементов матрицы.

Размерность каждого /-го ограничения определяется единица­ми измерения его правой части Ъ,. Например, Ь_! означает запас трудовых ресурсов в человеко-днях. Следовательно, размерность ограничения по трудовым ресурсам будет также в человеко-днях.

Размерность любого коэффициента а_у, входящего в /-е огра­ничение, должна быть равна размерности, принятой для этого ограничения (размерность Ъ), деленной на размерность Ху Если для ху принята размерность в гектарах, а для Ь_{ — в человеко-днях, то для <Л\\ размерностью являются человеко-дни, отнесен­ные на гектар. В случае, если х₂ представляет головы скота, раз­мерность а_п будет выражена в человеко-днях, отнесенных на го­лову скота.

Размерность всех слагаемых, входящих в 1-е ограничение, дол­жна равняться размерности &,-. В равенстве ацХ1 + а_пх₂ — Ь_{ раз­мерность

чел.-дн. -га чел.-дн. -гол.скота

+ = чел.-дн .

га гол. скота

Установленные размеры ресурсов и гарантированные объемы производства во многом определяют результаты решения земле-

445

устроительной задачи. Основными хозяйственными ресурсами являются земельные, трудовые, денежные, материальные.

Данные о земельных ресурсах включают в себя сведения об об­щей площади землевладения или землепользования, составе, площадях, качестве и местоположении земельных угодий, воз­можности их трансформации.

Они могут быть получены из различной отчетной земельной документации, а также на основании специальных обследований (землеустроительных, почвенно-эрозионных) и проведенных ра­бот по бонитировке почв и экономической оценке земель. Как правило, откорректированные земельно-учетные данные получа­ют в процессе подготовительных работ, проводимых при состав­лении проектов землеустройства.

Размеры трудовых ресурсов определяют, исходя из наличия трудоспособных в хозяйстве, а также объемов выполненных ими работ. При необходимости размеры трудовых ресурсов диффе­ренцируют по напряженным периодам, производственным под­разделениям хозяйств и населенным пунктам.

Данные о динамике трудовых ресурсов могут быть получены на основании годовых балансовых отчетов за ряд лет, материалов периодической отчетности сельскохозяйственных предприятий по труду, а также справок и сведений, полученных в сельской ад­министрации.

При построении ограничений по механизированным работам используют сведения о наличии техники в хозяйстве, ее произво­дительности, фактически выполненном объеме работ в га усл. пахоты или эт. га. Перспективный объем механизированных ра­бот определяют с учетом возможных поставок техники и повы­шения производительности труда.

Объемы денежно-материальных ресурсов в хозяйствах устанав­ливают на основании бизнес-планов, производственно-финан­совых планов или других бухгалтерских сведений.

Объемы вносимых удобрений определяют в соответствии с воз­можностями хозяйства приобрести минеральные удобрения и с учетом развития животноводства (для органических удобрений).

При решении землеустроительных задач с известным поголо­вьем животных и его размещением на фермах определяют по­требность в кормах, обеспечивая их производство. При этом учи­тывают возможность приобретения или продажи кормов.

При решении многих землеустроительных задач приходится формировать ограничения, обеспечивающие выполнение плана продажи продукции государству или другим заказчикам. Осно­вой для построения таких ограничений является объем валовой и товарной продукции, установленный в хозяйственных договорах на соответствующий год или в задании на составление проекта землеустройства.

Каждая землеустроительная задача требует расчета различных

446

технико-экономических коэффициентов и производственных ресурсов, что объясняется спецификой и многообразием решае­мых вопросов.

Коэффициенты целевой функции или стоимостные оценки пе­ременных тесно связаны с определением критерия оптимальности поставленной задачи. Для их расчета используют показатели сто­имости продукции с единицы площади посева и 1 гол. скота, дан­ные о затратах на производство продукции или осуществление различных мероприятий и другие экономические показатели.

Коэффициенты целевой функции могут быть выражены в на­туральных и стоимостных единицах.

Числовое значение критерия оптимальности при этом опреде­ляется как сумма произведений переменных, полученных в ходе решения задачи, на соответствующие коэффициенты целевой функции.

Для расчета технико-экономических коэффициентов произ­водственных ресурсов сельскохозяйственных предприятий и объемов производства используют методы анализа хозяйствен­ной деятельности, ее динамики и тенденций, составляют техно­логические карты, применяют экспертные оценки.

Для научно обоснованного определения параметров землеуст­роительных моделей строят производственные функции.

19.4. СИМВОЛИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ

При разработке базовых, структурных экономико-математи­ческих моделей, сводящихся к задачам математического про­граммирования, с целью сокращения объемов записываемой ин­формации, облегчения и ускорения понимания задачи использу­ют формализованное представление в ней условий и критерия оптимальности. Для этого применяют различные символические обозначения.

С формальных позиций безразлично, какими символами будут обозначаться отдельные параметры модели, главное, чтобы они имели однозначный смысл и пояснения. Однако такой подход не способствует хорошему восприятию записей моделей, так как приходится постоянно отвлекаться на поиски толкования симво­лов. Поэтому целесообразно наиболее часто встречающиеся па­раметры моделей обозначать общепринятыми символами и ин­дексами и только в отдельных случаях привлекать новые симво­лы с дополнительными пояснениями.

При моделировании оптимизационных землеустроительных задач в основном используются общепринятые в аграрной эко­номике символы. Тем не менее часть из них имеет некоторые особенности, которые будут рассмотрены ниже.

447

Общепринятыми индексами и символами при моделировании землеустроительных экономико-математических задач являются следующие.

Индексы:

п — общее число переменных (неизвестных) в задаче, обозна­чающих искомые размеры площадей, отраслей, видов деятельно­сти и т. д.;

у — номер переменной (порядковый номер отрасли, вида дея­тельности);

т — общее число ограничений, выражающих условия реше­ния задачи, баланс ресурсов, производство продукции и т.д.;

/ — порядковый номер ограничений.

В случае, когда необходимо объединить переменные по видам деятельности, привлекают символ у с индексами, обозначающи­ми подмножество переменных, объединяемых по какому-либо признаку (/ьУ2 ^и т.д.). В экономико-математических моделях за­дач при записи условий указывают, что у е 0 или другому под­множеству (знак е — принадлежит), и пояснения индексации сводятся только к групповому индексу у (например, у^-! — подмно­жество, элементами которого являются номера переменных, обозначающих конкретный вид деятельности; у₂ — подмноже­ство, элементами которого являются номера переменных, обо­значающих другой вид деятельности, и т. д.).

Часто подмножества у'[ и у₂ заменяют следующей записью: у е <2\, илиу'е Ох, что означает одно и то же.

В том случае, если необходимо суммировать виды деятельнос­ти С?! и 0₂ ^и перейти от подмножества к одному множеству, ис­пользуют знак объединения (знак и — сумма), то есть О = 01 и 0₂.

В землеустроительных задачах выделяют также однородные группы (подмножества) ограничений. Тогда /е М_х или /е М₂, где М\ и М₂ — соответствующие подмножества, элементами которых являются номера конкретных ограничений.

Встречаются случаи, когда выделяются группы переменных и ограничений, принадлежащих к одной подсистеме (например, переменные, обозначающие виды деятельности и ограничиваю­щие их условия в одном экономическом объекте, районе, бри­гаде и т.д., и переменные, обозначающие такие же виды дея­тельности и такие же ограничения в другом районе или зоне и т.д.). Тогда вводятся индексы г, которым обозначают номер объекта группы переменных и ограничений, н К — общее число объектов.

Не рекомендуется делать многоуровневую индексацию. Без крайней необходимости не следует переходить третий уровень, для обозначения которого используют индекс /—номер группы переменных, Ь — общее число индексов этого уровня.

При необходимости введения дополнительной индексации

448

для ограничений рекомендуется обозначать индексами к номер группы ограничений и К— число групп ограничений.

В ряде случаев, особенно в линейно-динамических задачах, принадлежность видов деятельности или ограничений по годам обозначают индексом I.

Коэффициенты — это величины, характеризующие размеры производства или затрат в расчете на единицу, принятую для ис­комой переменной.

Коэффициенты сопровождаются индексами принадлежности, первый (первые) из них обозначает принадлежность к ограниче­ниям, последующий (последующие) — к переменным, т. е. у.

Для обозначения любых видов затрат принимается коэффици­ент а, любых видов выпуска (производства) — коэффициент V.

При необходимости связать какие-либо отношения двух и бо­лее переменных следует воспользоваться в ограничениях симво­лами а, со (коэффициент пропорциональности), иногда символ со заменяют символом а.

Коэффициенты целевой функции обозначают символом с с соответствующими индексами принадлежности к переменной. Суммарное значение целевой функции обозначают символами с, Р, Дх) или 2.

Константами называют величины, представляющие значения правых частей уравнений и неравенств, моделирующих систему.

Индексы при символах-константах соответствуют индексам ограничений. В качестве обозначающих символов принимаются (по объемам):

Р — площади (землевладений и землепользовании, угодий, культур);

Г— размер трудовых ресурсов, V — трудовые ресурсы в конк­ретный период времени;

-О —денежные ресурсы;

И, Р, К — минеральные удобрения по видам;

О — органические удобрения;

^ — сельскохозяйственная техника, А¹ — то же по периодам;

В — основные производственные фонды;

П— производство продукции (включая кормовые ресурсы);

Н, II, 5— производственные ресурсы прочих видов.

В ряде случаев при формировании констант используют под­строчные или надстрочные символы. Например, Р^<х<Р. Это означает, что переменная х находится в интервале между Р_ (ог­раничение снизу) и р (ограничение сверху). Данное ограниче­ние может быть записано и так: Р[ <х<Р₂, или х>Ру, х<Р₂.

Переменные, представляющие виды деятельности, обозначают символом х. Дополнительные искомые переменные можно обо­значать тем же символом с черточками, другими дополнительны­ми обозначениями, а также символами у или и.

449

Во всех случаях переменные при моделировании экономико-математических задач требуют пояснений по тексту, раскрываю­щих их экономическое, технологическое и другое значение, с введением соответствующих индексов.

Если для представляемой экономико-математической модели приведенная символика недостаточна, привлекаются дополни­тельные символы из латинского и греческого алфавитов. В этих случаях в тексте обязательно должно быть разъяснение содержа­ния этих символов.

Суммы и ограничения. При формализации указанных условий используют классические обозначения:

I — знак суммы;

п К

ЕЕ; или ЕЕ— знак двойной суммы, например, в блоч-

] г ]=\г=\

нои модели данные знаки обозначают суммирование по всему ряду переменных с индексом у в каждом блоке с индексом г;

X — то же, что и в предыдущем случае (знак двойной суммы)

(в задачах могут применяться знаки тройных и более сумм);

<,=,> — символы, означающие соответственно меньше или равно, равно, больше или равно;

—> — символ «стремиться», используется в целевых функциях, например /(х) —> тах (тт) — это означает, что целевая функция в процессе решения задачи должна достичь максимума или мини­мума.

С развитием систем автоматизированного землеустроительно­го проектирования создаются программные комплексы, полнос­тью автоматизирующие решение конкретных землеустроитель­ных задач. Для правильного решения задач постановщики и раз­работчики создают специальные информационные модели на ос­нове единого, сквозного алгоритма подготовки исходной информации, ее переработки различными методами (в том числе и методами математического программирования) и формирова­ния выходных документов, информация которых полностью удовлетворяет определенную функцию управления землеустрои­тельными ресурсами. Математическое моделирование процессов переработки информации в такой информационной модели обеспечивает основу для программирования, создания про­граммного комплекса или пакета прикладных программ. В этом случае применяются другие способы формализации землеустрои­тельных задач, изучаемые в курсе «Автоматизация землеустрои­тельного проектирования».