Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение понятия информации.

1. Что такое информационное обеспечение моделирования?

450

3. Какие требования предъявляют к информации?

3. Какова единица измерения информации?

3. Как подразделяются виды и источники землеустроительной информации?

3. Что такое матрица задачи?

3. Какие показатели составляют матрицу?

3. Какова роль технико-экономических коэффициентов?

3. Как классифицируют технико-экономические коэффициенты?

10. Чем отличаются нормативные коэффициенты, коэффициенты пропорцио­нальности и связи? Приведите примеры.

10. Для чего нужны символические обозначения, используемые при моделиро­вании? Можно ли использовать нестандартные символические обозначения?

Глава 20

ВЫБОР ПЕРЕМЕННЫХ И ПОСТРОЕНИЕ ОГРАНИЧЕНИЙ

ЗАДАЧИ

20.1. УСТАНОВЛЕНИЕ ПЕРЕЧНЯ ПЕРЕМЕННЫХ И ОГРАНИЧЕНИЙ

Формулирование матрицы экономико-математической задачи начинается с определения перечня переменных величин или неиз­вестных. Этот перечень определяет размер матрицы.

В землеустроительных моделях перечень переменных должен отражать содержание экономико-математической задачи и быть достаточным. Не нужно увеличивать состав переменных без не­обходимости и включать в решение задачи переменные, значе­ния которых заранее известны и не повлияют на результат.

В каждой задаче перечень переменных специфичен. В зависимо­сти от цели задачи основные переменные могут характеризовать:

площади земельных угодий;

сельскохозяйственные отрасли или объемы производства про­дукции;

основные и оборотные средства производства;

другие параметры, учитываемые в задаче.

Площади земельных угодий — основные пере­менные, поиск которых идет в землеустроительных задачах. Они могут выражаться в гектарах —для сельскохозяйственных куль­тур, севооборотов и угодий или в гектарах через километры (при оговоренной ширине) — для линейных элементов организации территории (лесополос, дорог, водозадерживающих валов).

Состав переменных, характеризующих площади земельных угодий, может быть полным, то есть включать все земли с под­разделением на виды, соответствующие данным земельного уче­та (например, пашня богарная, орошаемая, осушаемая, засолен­ная и т. д.), а также сокращенным — без подразделения на виды.

Во многих случаях в состав данной группы переменных вклю­чают неизвестные, характеризующие объемы трансформации, то есть перевода угодий из одного вида в другой.

При решении задач межхозяйственного землеустройства в со-

451

став переменных входят неизвестные, отражающие площади пе­рераспределения земель между хозяйствами и размеры землевла­дений и землепользовании по формам собственности, срокам пользования и аренды.

В ряде случаев некоторые переменные в процессе решения являются расчетными величинами. Например, общая площадь пашни хозяйства включается в задачу в качестве основной пере­менной (х₀), но вычисляется она в процессе решения в зависимо­сти от искомых площадей посева сельскохозяйственных культур (х,,у'е О) по формуле

2*;=*о; 1>у-*о=⁰-

Часто состав переменных по площадям в землеустроительных задачах зависит от сопутствующих решению других неизвестных, например по сельскохозяйственным отраслям.

Следует иметь в виду, что переход к площадям в землеустрои­тельных задачах может осуществляться и по результатам реше­ния. Например, в качестве переменной выступает объем произ­водства картофеля. Зная его урожайность, можно легко перейти к площади картофеля в структуре посевов. Аналогичным образом можно сформулировать ограничение по земельной площади. Оно примет следующий вид:

1 —х,<р,

где X/ — объемы производства продукции растениеводствау'-го вида, ц; и»у — урожай­ность у-й культуры (продуктивность угодья), ц с 1 га; Р— площадь, ограничиваю­щая решение, га.

Сельскохозяйственные отрасли или объемы производства продукции выбираются, исходя из поста­новки задачи. Перечень сельскохозяйственных отраслей может быть полным, то есть охватывать все отрасли производства, ко­торые возможны в данном предприятии, или конкретным, а именно включать отрасли только по определенному признаку (растениеводство или животноводство, все культуры в растение­водстве или только кормовые).

Перечень отраслей может быть объединенным и более деталь­ным. В объединенном перечне, например, зерновые продоволь­ственные культуры представлены вместе, в одном столбце одной переменной. В более детальном перечне зерновые дают по от­дельным культурам, например, озимая пшеница, ячмень, яровая пшеница и т. д.

В задаче каждая культура будет обозначена основной пере­менной, ей отводится отдельный столбец. Отрасль крупного ро-

452

гатого скота можно рассматривать в расчете на структурную (переводную или условную) голову или на половозрастную группу.

Часто используют прием, при котором сельскохозяйственные отрасли представляют в перечне в зависимости от их производ­ственного назначения. Так, отдельно в матрицу включают зерно­вые продовольственные и зерновые фуражные культуры или бо­лее детально: картофель на семена, картофель ранний товарный, картофель поздний товарный, картофель на корм скоту; приме­нительно к животноводству: крупный рогатый скот молочного, мясо-молочного направления и т. д.

Некоторые экономико-математические задачи разрабатывают для того, чтобы определить оптимальное использование сельско­хозяйственной продукции или продукции промышленного про­изводства для сельского хозяйства. Поэтому искомые перемен­ные величины могут обозначать различные виды продукции, вы­раженные в центнерах или тоннах.

Основные и оборотные средства производ­ства могут также вводиться в задачу в качестве основных пере­менных. При определении оптимальных размеров землевладе­ний и землепользовании основные средства производства, в том числе неразрывно связанные с землей (постройки, сооружения, дороги и каналы), во многом определяют результат решения за­дачи. В этом случае основные средства производства и их состав определяют как некоторые переменные величины.

В других задачах, например по оптимальному составу трактор­ного парка, каждая марка тракторов получает значение перемен­ной величины и вводится отдельным столбцом.

В большинстве землеустроительных задач решение определя­ют с учетом оборотных средств — денежных, материальных. В та­ком случае каждый вид оборотных средств может быть представ­лен отдельной переменной величиной.

В процессе решения землеустроительных задач в качестве ос­новных переменных могут выступать и другие неизвест­ные, например площади проведения агротехнических, лесоме­лиоративных и других мероприятий в районах эрозии, объемы оросительной воды, регулируемого стока при орошении на ме­стном стоке и т. д.

Нахождение оптимальных землеустроительных решений зави­сит от правильного определения состава ограничений, поэтому они занимают центральное место в математических моделях. В них отражаются важнейшие условия и требования землеустрой­ства. Ограничения формулируют в виде системы неравенств и уравнений, выражающей возможности производства и баланс ресурсов. В связи с этим особое значение приобретают полнота и точность отражения в модели всех ограничений, накладывае­мых на переменные. При формулировании ограничений необ-

453

ходимо, чтобы были учтены все условия (природные, социаль­но-экономические, землеустроительные, технические и др.). Число их должно быть достаточным, так как число составлен­ных уравнений и неравенств определяет максимальное число видов и способов деятельности, которые смогут войти в опти­мальный план.

Ограничения могут налагаться на отдельные переменные, часть их или на все одновременно. В одну систему ограничений могут входить три типа линейных соотношений: равно (=), равно или больше (>), равно или меньше (<). По характеру ограничения делят на основные, дополнительные и вспомогательные.

К основным ограничениям относятся такие, кото­рые накладываются на все или большинство переменных. Они выражают основные условия задач. В сельскохозяйственном производстве в их состав включают ограничения по использова­нию ресурсов: земли, рабочей силы, основных средств производ­ства, семян, удобрений, ядохимикатов, топлива и смазочных ма­териалов, кормов и др. Из всех ресурсов в расчет включают толь­ко те, использование которых ограничено.

Дополнительные ограничения накладываются на отдельные переменные или небольшие группы их. Обычно они формулируются в виде неравенств, ограничивающих «снизу» или «сверху» объемы производства отдельных видов продукции, потребление животными некоторых видов или группы кормов, агротехническую целесообразность насыщения отдельных куль­тур в севообороте, организационную или зооветеринарную целе­сообразность концентрации животных и др.

Дополнительные ограничения при разработке плана обеспе­чивают учет требований по производству некоторых продуктов в объемах, удовлетворяющих потребность. С их помощью связыва­ются также отдельные блоки модели.

Вспомогательные ограничения не имеют самостоя­тельного экономического значения. Их используют главным об­разом для правильной формулировки экономических требований и математической записи системы линейных отношений.

Следует иметь в виду, что нельзя перенасыщать модель огра­ничениями, навязывая решение задачи. Необходимо также ана­лизировать ограничения во избежание их несовместимости.

20.2. ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ОГРАНИЧЕНИЙ

Формирование ограничений экономико-математической за­дачи проводится после ее постановки, определения перечня пе­ременных и условий, установления технико-экономических ко­эффициентов и объемов ограничений, сбора исходной информа­ции.

454

Математическая формулировка ограничений в землеустрои­тельных задачах может происходить:

с постоянными коэффициентами при переменных и извест­ными объемами ограничений;

с постоянными коэффициентами при переменных и изменя­ющимися объемами ограничений;

с изменяющимися коэффициентами при переменных и фик­сированными или изменяющимися объемами ограничений.

Моделирование землеустроительных задач с постоянными коэф­фициентами при переменных и известными объемами ограничений. В ходе моделирования таких задач используют следующие типы линейных соотношений:

ацХу + а_пх₂ + ... + а_1пх„< Ьи «21*1 + а₂₂х₂ + ... + а_2пх_п> Ь₂; а₃рс, + а_Ъ1х₂ + ... + а_3пх_п < Ъ_ъ.

Коэффициенты при переменных ау и объемы ограничений Ь, О'е 1, 2, ..., т) остаются постоянными в течение решения задачи.

Коэффициенты (а у) могут иметь любое числовое значение, но постоянное в ходе решения.

Например, в хозяйстве имеется три вида земельных угодий, пригодных для трансформации:

х_{ — площадь пастбищ, трансформируемая в пашню;

х₂ — площадь сенокосов, переводимая в пашню;

х₃ — площадь болот, осваиваемая под сенокос.

Затраты труда на 1 га трансформируемых земель составят со­ответственно 25, 40 и 400чел.-ч, а общий объем трудовых ресур­сов, имеющихся в хозяйстве в бригаде по сельскохозяйственному освоению и мелиорации земель, — 10 000 чел.-ч.

Тогда условие по трудовым ресурсам с постоянными коэффи­циентами при переменных и известными объемами ограничений можно записать в следующем виде:

25х! + 40л>> + 400хз ^ Ю 000.

Таким же образом записывают и другие аналогичные условия, например по минеральным удобрениям, механизированным ра­ботам, денежным средствам и т. д.

При постоянных параметрах ограничений в задачу можно вводить любые условия, коэффициенты которых являются про­изводными от постоянных и рассчитываются на их основе. На­пример, при построении ограничений по гарантированному про­изводству товарных культур в рассматриваемой выше постановке экономико-математической задачи из планируемой урожайности сельскохозяйственных культур следует исключить часть продук-

455

ции, необходимой для воспроизводства (на семена) и хозяй­ственные цели.

Точно так же можно оперировать и со значением Ь/. Напри­мер, ограничение по гарантированному производству зерна яро­вых зерновых культур имеет вид

где Оу — урожайность яровых зерновых; x^ — искомая площадь яровых зерновых; 6,- — гарантированный объем производства зерна.

Значение Ь-, одновременно может включать суммарные по­требности хозяйства в семенах, концентратах и товарном зерне. В этом случае ставится одно ограничение, а переменные х^ не дифференцируются по целевому использованию. В противном случае можно было бы иметь три переменные по яровым зерно­вым: на семена, концентраты, товарные цели.

Моделирование землеустроительных задач с постоянными коэф­фициентами при переменных и изменяющимися объемами ограниче­ний. В некоторых землеустроительных задачах требуется отыс­кать оптимальную структуру ресурсов по отношению к величине, которая пока еще неизвестна. В таких случаях прибегают к двум приемам моделирования.

Первый прием предполагает построение двух ограничений вида

п _ п

7=1 }=\

В общем виде данное ограничение может быть записано так:

п _,

Ь<^а_1]х_]<Ь{. у = 1

Такое ограничение может применяться, например, в задаче по оптимизации структуры и состава противоэрозионных меропри­ятий в районах водной эрозии почв. Здесь ау — водозадерживаю-щие (водопоглощающие) характеристики отдельных противоэро­зионных мероприятий (агротехнических, мелиоративных, гидро­технических); А₍. — сток, вызывающий эрозию; Ь_: — общий сток с рассматриваемой территории.

При постановке ограничений неясно, каким будет значение

Ъ_г Важно, чтобы оно находилось в пределах Ь/-Ь;, характеризую­щих безопасный с точки зрения водной эрозии или допустимый сток.

При решении задачи подобная формулировка обеспечит из­менение величины Ъ_{ в пределах Ь;<Ь[<Ъ}, где Ь_{ —нижняя допу-456

стимая граница изменения величины Ъ„ а Ь_: — верхняя допусти­мая граница.

Однако этот прием применим лишь в тех случаях, когда мож­но установить величины Ь_: и Ц. Но их значения могут зависеть и от других условий, которые учитывают при разработке эконо­мико-математической модели и роль которых в общей системе пока неизвестна, а следовательно, неизвестно, как может ме­няться величина Ъ,. В таких случаях применяется другой, более универсальный прием.

Второй прием. В систему вводится переменная *„+,-, помогаю­щая установить, насколько увеличится значение Ь₁ под влиянием других условий. При этом формализованная запись условия при­нимает следующий вид:

п

У=1

Экономический смысл записи — объем производственных ре­сурсов, выраженный константой Ъ_ь может использоваться час­тично или полностью, а при определенных условиях возрастать на величину урс_{х+ х}. В модели это условие записывается так:

7 = 1

В землеустроительных задачах значение V,-, как правило, при­нимается равным единице, ограничение принимает следующий вид:

п ■ у = 1

В ряде землеустроительных задач значение Ъ₁ неизвестно, его требуется рассчитать. Тогда принимается, что

Ограничения по расчету ресурсных или других, например эко­номических, показателей принимают такой вид:

п

2_, оуХу —х_п+1 = \).

Вспомогательная переменная х„₊₁ учитывается и в других ог-

457

раничениях, в которых записаны условия, функционально свя­занные с этой переменной.

Описанный прием называют вводом в линейное соотношение вспомогательной переменной в целях учета изменения или рас­чета величины Ь(.

Моделирование землеустроительных задач с изменяющимися ко­эффициентами при переменных. Моделирование землеустроитель­ных процессов для решения методами линейного программиро­вания не допускает прямого изменения значений коэффициен­тов при переменных величинах в ходе решения. Существует три приема, позволяющих учитывать изменение этих коэффициен­тов в процессе решения, хотя истинное (абсолютное) значение получают после решения всей системы. Это методы среднего взвешенного, суммирования коэффициентов и вычитания коэф­фициентов.

Данные приемы одинаково применимы и при постоянных, и при изменяющихся объемах ресурсов (6,).

Метод среднего взвешенного применяется тогда, когда технико-экономические коэффициенты предположительно изменяются в

некотором известном интервале, например а--<а^<ац.

Данный метод заключается в следующем.

В развернутую модель задачи вводят две переменные х_- и Хр коэффициентами которых являются соответственно а_-- и а_у.

При решении задачи возможны три случая:

1. */⁼⁰> */>0, тогда Ду =«;/;

1. х_у-=0, x^>0, тогда ^=аф

1. х^>0, x^>0, тогда ау рассчитывают после решения всей си­стемы по формуле

"// — _

Допустим, что минимальная урожайность зерновых культур 30 ц с 1 га. Если позволят производственные ресурсы, при внесе­нии удобрений урожайность может быть повышена до 40 ц. При этом допускается, что между затратами производственных ресур­сов и повышением урожайности в интервале (30—40) существует линейная зависимость. В общую систему неизвестных вводят две

переменные: х^ —площадь посевову'-й культуры при урожайнос­ти 30 ц и Ху — площадь посева у'-й культуры при урожайности 40 ц. По каждой из них в ограничениях, которыми учитываются затраты производственных ресурсов, записываются коэффици-

458

енты а у и ау, обозначающие соответственно затраты г-го вида ресурсов на получение урожайности 30 и 40 ц по культуре х,-.

В соответствии с условием Щ, ху>0 при решении задачи эти переменные могут получать различные значения, от которых за­висит достигаемый уровень урожайности. Так, если х,-=0, а х_/=500га, то урожайность будет 40ц с 1га; при x^=0 и

х-=500га — урожайность 30ц. При Ху=200, х.=300 урожайность рассчитывают по приведенной выше' формуле:

30-200+40-300 ., , 500 ^{=3бЦС1га}-

Наиболее распространен метод среднего взвешенного для ре­шения такой землеустроительной задачи, как установление оп­тимального уровня интенсивности использования земли при раз­личных изменениях факторов интенсификации производства.

Метод суммирования коэффициентов осуществляется путем введения вспомогательных переменной и ограничения. Вспомо­гательная переменная может иметь различный экономический смысл в зависимости от того, какой экономический показатель требуется определить.

В экономической литературе метод суммирования коэффици­ентов сводят к следующим обозначениям и действиям.

Переменная х, характеризуется коэффициентом V^, обознача­ющим объем продукта, который может быть произведен в расче­те на единицу х,-. Известно также, что для достижения V^ необхо­димо затратить производственные ресурсы /-го вида в объеме ау. В постановке задачи указывается, что в зависимости от объема ресурсов Ъ; и целесообразности их использования затраты ресур­сов по отрасли Ху можно увеличивать от а,-,- до а'у. При этом будет

также увеличиваться Уудо значения V'^. Интервалы (ау, а'у ) изби­раются такими, в которых прослеживается линейная зависимость у,-и у).

Рассмотрим пример. Известно, что для получения удоя 40 ц на одну корову должно быть затрачено 8 ц корм. ед. При скармлива­нии коровам 12 ц корм. ед. удои могут повыситься до 50 ц.

Примем, что V/ = 40, у)=50, ау=&, ау = 12 и Ху — общее поголо­вье коров. Надо установить оптимальную продуктивность молоч­ного поголовья Уу¹¹¹ с учетом наиболее целесообразного исполь­зования кормов.

Для записи условий вводят вспомогательную переменную х„ +у, которая будет обозначать суммарный прирост продукции по

459

отношению к минимальному уровню производства, возможному в/-й отрасли, когда размер ее будет равен х,. Если х,= 1, то х_п+) может изменяться в интервале

Рассчитывают коэффициенты при х„+у, представляющие час­тное от деления прироста продукции и затрат на какую-то общую величину Г.

^у)-^уу. „ Уа-^аа

"л+у- ₍ ! Чу¹

Величина (подбирается такой, чтобы ^„+;= 1. Это можно оп­ределить, приняв /равным разности у)-у/-

В системе развернутой экономико-математической модели за­данные условия записывают в виде ограничений:

2) ^_у-^)*_;-+*_л+у*_и+у<0;

3) а^ + д^_п+]<Ь₁.

Ограничения обозначают: 1) общий объем производимой про­дукции по х_] равен К; 2) вспомогательное ограничение, фиксиру­ющее интервал, в котором соблюдается линейная зависимость; 3) баланс ресурсов Ь,. Напомним, что данная система не имеет самостоятельного значения. Она составляет часть общей развер­нутой экономико-математической модели, в которой учитывают­ся иные взаимосвязи и возможности расходования ресурсов 6,- по x^ и другим отраслям.

Вернемся к конкретному примеру, в котором й_{п +7} будет равно

1, если /=у;-у,-, или 50—40= 10. Тогда

12-8 „.

Пользуясь условиями, запишем ограничения:

4) 40х,+х„_+; = Я_у;

5) -10х,+х„_+у<0;

6) 8х,- + 0,4х_й+,•</>,-.

При решении всей системы возможны только два результата 460

по значениям переменных этой подсистемы: ^)x^■>0, x_п+^=0; 2) х_]> О, х_п +_;> 0. Третьего решения х_] = 0, х„ _+у> 0 не может быть в связи с записью второго ограничения.

Оптимальное значение у,- будет определено по формуле

ОПТ_ "/7 + у^+ХД + /

Допустим, что х_] получил значение 20, х„ +^ — 80. Тогда у^^т

80 (искомая продуктивность) составит 40+—=44ц молока на коро­ву. Истинное значение а_;у^СТ также можно определить после ре­шения всей системы по формуле

ист Уу ^хп+ /

0.1: =0,7+ — -,

или

=9,6 ц корм. ед.

₈₊0Л80 20

Метод вычитания коэффициентов, по существу, основывается на тех же положениях, что и метод суммирования коэффициен­тов, но при другой постановке задачи. Если в методе суммирова­ния коэффициентов предполагалось ^>у_у-, то метод вычитания

коэффициентов применяется при у}<у^.

При моделировании и решении землеустроительных задач ис­пользуют ряд приемов, которые позволяют без ущерба для полу­чаемого ответа облегчить получение результата даже при нали­чии некоторых трудностей (недостаточная мощность ЭВМ, мно­гофункциональная постановка, большая размерность матрицы, отсутствие надлежащих алгоритмов и т.д.). Это приемы поэтап­ного решения, сжатия размерности модели.

Прием поэтапного решения применяется либо при отсутствии мощных ЭВМ, либо в случае необходимости вы­дачи решений на различных уровнях (по блокам или в целом по связующему блоку). На первом этапе получают информацию, ко­торая характеризует землеустраиваемый объект в целом, напри­мер сельский административный район.

Данная информация может использоваться районной адми­нистрацией при планировании использования и охраны земель и является входной для решения задач второго этапа по внутрихо-

461

зяиственному землеустройству отдельных сельскохозяйственных предприятий.

Может решаться и обратная задача. На первом этапе опреде­ляются основные параметры сельскохозяйственных предприятий (обеспеченность земельными ресурсами, трансформация угодий, трудообеспеченность и т. д.), а на втором этапе — параметры района — корректируются договорные обязательства (поставки продукции, семян, комбикормов, инвестиции), специализация, объемы производства и т. д.

Прием сжатия размерности модели при­меняется, когда требуется иметь универсальную (унифицирован­ную) модель для использования в процессе автоматизации расче­тов технико-экономических коэффициентов матрицы и ее пост­роения в автоматизированном режиме на ЭВМ.

Кроме того, реализация моделей с большим числом перемен­ных и условий бывает затруднена из-за ограниченных возможно­стей программ или недостаточной емкости памяти ЭВМ. Поэто­му при моделировании процессов иногда прибегают к приемам, позволяющим сокращать размерность моделей. В этих целях ис­пользуют прием агрегирования отраслей (видов деятельности), введения ограничений через единичный вектор и др.

Прием агрегирования заключается в том, что отрасль вводится в модель не в развернутом, а в агрегированном виде, что позволяет использовать меньшее число переменных или даже одну переменную. Чаще этот прием используют для моделирова­ния отраслей животноводства. Например, крупный рогатый скот можно ввести в модель с учетом половозрастных групп, а можно записать одной переменной, размерность которой структурная или условная корова. Для расчета этого показателя определяют затраты ресурсов, выход продукции по половозрастным группам, затем по всему стаду и делят на поголовье коров. В результате будут определены коэффициенты по затратам ресурсов, выходу продукции в расчете на единицу принятой размерности по дан­ной переменной, то есть на одну структурную корову.

В ряде случаев этот прием используют при моделировании от­раслей растениеводства. Например, в число переменных вводят какую-то культуру одной переменной без подразделения на не­известные по целевому назначению. Например, яровой ячмень может вводиться в задачу тремя переменными: на продажу, на семена, на фураж (концентраты). Заменив их одной переменной, просто ячменем, используют некоторые приемы изменения ко­эффициентов в ограничениях. Так, при построении ограничений по обеспечению гарантированного производства товарного зерна из урожайности ячменя вычитают норму высева и часть зерна, идущую на корм скоту.

Прием введения ограничений через единич­ный вектор заключается в следующем. В модель вводится

462

единичный вектор с гарантирующим его наличие в оптимальном решении ограничением. Коэффициенты по этому вектору могут обозначать объемы ресурса, производства продукции и т. д.

Например, условия по использованию естественных сеноко­сов, пастбищ, культурных пастбищ можно записать в модель с помощью трех ограничений. Но если исходить из предпосылки, что площадь их должна обязательно использоваться, можно из­бежать этих ограничений, подсчитав по всем видам угодий об­щие затраты ресурсов, выход кормов и отразив их через вектор по соответствующим ограничениям модели.

20.3. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ОГРАНИЧЕНИЙ В ЗЕМЛЕУСТРОИТЕЛЬНЫХ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

После того как определены переменные задачи линейного программирования, рассчитаны все технико-экономические ко­эффициенты и коэффициенты целевой функции, а также объе­мы ограничений (ресурсов или констант), приступают к построе­нию моделей, основу которых составляют системы математичес­ких соотношений, представляемых в виде уравнений и нера­венств, характеризующих условия задач.

Основными типами ограничений в землеустроительных эко­номико-математических задачах являются:

условия, характеризующие использование земельных ресур­сов;

ресурсные ограничения (кроме земельных);

ограничения по производству и использованию кормов;

условия гарантированного производства отдельных видов продукции;

ограничения, устанавливающие пропорции отраслей или раз­личные взаимосвязи переменных;

другие ограничения, формирующиеся в зависимости от осо­бенностей постановки той или иной землеустроительной задачи и характеристик объекта землеустроительного проектирования.

Рассмотрим основные приемы математической формулиров­ки условий землеустроительных задач.

1. Условия, характеризующие использование земельных ресурсов, подразделяют на два основных вида:

по площадям, ограничивающим решение задачи;

по качественным характеристикам, обеспечивающим баланс питательных веществ в почве, условия воспроизводства плодоро­дия почв и прекращение процессов деградации земель.

Условия по площадям земельных угодий формулиру­ются в зависимости от особенностей решаемой задачи и перечня выбираемых переменных. При этом возможны три случая, когда в качестве переменных Ц) выбирают:

463

площади сельскохозяйственных культур;

площади севооборотов и внесевооборотных участков;

площади сельскохозяйственных угодий отдельных видов.

Задача может предполагать трансформацию отдельных видов земельных угодий, а также решаться без учета возможного пере­вода угодий из одного вида в другой.

В том случае, если задача решается без учета трансформации угодий, при построении ограничений по земельным ресурсам поступают следующим образом. Допустим, в хозяйстве имеется 1500 га пашни, увеличение ее не предусматривается, и намечает­ся возделывать следующие сельскохозяйственные культуры:

Х[ — озимые зерновые на товарные цели (здесь и далее неиз­вестные характеризуют площадь культур, выраженную в гекта­рах);

х₂ — яровые зерновые на концентрированные корма;

х₃ — картофель на продажу;

х₄ — многолетние травы на сено;

х₅ — многолетние травы на зеленый корм;

х₆ — многолетние травы на семена;

х₇ — кукуруза на силос;

х₈ — кормовые корнеплоды.

При этом ограничение по площади пашни будет иметь вид

Х[ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ + Х(, + ху + х₈ < 1500.

Такой же вид будут иметь ограничения по площади пашни, если в качестве переменных будут выступать не сельскохозяй­ственные культуры, а площади отдельных севооборотов (поле­вых, кормовых, специальных). Таким же образом записывают ог­раничения и по другим земельным угодьям, площадь которых из­вестна до решения задачи.

Предположим, что в хозяйстве 800 га пастбищ и 500 га сеноко­сов.

Продолжим обозначения неизвестных:

х₉ — площадь естественных пастбищ;

х₁₀ — площадь пастбищ, подлежащая улучшению;

х_п — площадь сенокосов.

Тогда ограничения по площади пастбищ и сенокосов можно записать так:

х₉ + х₁₀ < 800; х_и<500.

Эти ограничения в символах можно записать так:

Хху<^-, /е М_ь

у где у е <?1 — подмножество переменных по пашне (она может подразделяться на

464

виды: богарная, орошаемая, осушаемая); }е б₂ ^— подмножество переменных по другим угодьям (пастбищам, сенокосам, садам, виноградникам и т.д.); /е Л/, — подмножество ограничений по земельным угодьям; Р₁— известная площадь зе­мельных угодий (-го вида.

Усложним данную задачу. Введем в нее переменные, характе­ризующие перевод отдельных видов земельных угодий в другие виды:

Х[₂ — площадь пашни, трансформируемая в сад;

х₁₃ — площадь пастбищ, трансформируемая в пашню;

х₎₄ — площадь сенокосов, трансформируемых в пастбища.

Будем считать, что приведенные выше площади 1500 га паш­ни, 800 га пастбищ и 500 га сенокосов — это фактические площа­ди земель в хозяйстве. Примем также, что под сад надо освоить не менее 100 га пашни; для трансформации в пашню пригодно не более 500 га пастбищ, а для перевода в пастбища пригодно не более 300 га сенокосов.

Тогда ограничения по земельным ресурсам с учетом транс­формации будут иметь следующий вид:

по пашне: х_{ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ + х₆ + х₇ + х₈< 1500 — х₁₂ + х₁₃;

по пастбищам: х₉ + х_ш < 800 — х₁₃ + х₁₄;

по сенокосам: х_и<500 — х₁₄;

по объемам трансформации: х₁₂ > 100; х₁₃ < 500; х_и < 300.

Или в окончательном виде:

Х\ + х₂ + х₃ + Х4 + Х5 + Хб + х₇ + х₈+ х₁₂ — х₁₃ < 1500;

х₉ + х₁₀ + х₁₃ — х_и < 800;

х_п + х_м < 500; Х12 > 100; х₁₃ < 500; х₁₄ < 300.

В символах данная система ограничений будет записана так:

Ех_у0, /еМ,

гдеу е <2з — подмножество переменных, характеризующих виды и объемы сельско­хозяйственного освоения, трансформации и мелиорации земель.

Условия по качественным характеристикам почв в землеустройстве принято формулировать по балансу гу­муса. В случае, если баланс гумуса положительный, то есть в по­чве накапливается больше органического вещества, чем расходу-

465

ется (выносится), проектом землеустройства создаются нормаль­ные условия для роста почвенного плодородия, то есть его вос­производства.

В противном случае, при отрицательном балансе гумуса почва деградирует, земельные ресурсы истощаются, урожайность сель­скохозяйственных культур падает.

Известно, что под посевами большинства сельскохозяйствен­ных культур (зерновые, технические) содержание гумуса в почве снижается. Вместе с тем отдельные культуры, к которым отно­сятся прежде всего бобовые, способствуют повышению гумуса в почве.

Нами произведен расчет баланса гумуса в почве под посевами различных сельскохозяйственных культур с учетом их урожайно­сти. Эти данные могут быть использованы при построении огра­ничений по балансу гумуса в почве (табл. 146).