Алгоритм решения канонических уравнений методом Гамильтона – Якоби.

1. Составляют Гамильтониан Н, как сумму кинетической и потенциальной энергии для и

(1)

2. Находят выражение для обобщенных импульсов

(2)

3. Составляют уравнение Гамильтона – Якоби

(3)

4. Решают уравнение Гамильтона – Якоби и находят

5. По формулам Якоби находят общее решение задачи

(4)

В большинстве задач небесной механики время не входит явно в гамильтониан, поэтому производящая функция будет иметь вид:

(5)

то есть уравнение Гамильтона – Якоби (3) имеет вид:

В пункте 4 находят не , а

Пример: Задана каноническая система

;

с гамильтонианом . Найти решение системы.

Решение.

1. Составляем уравнение Гамильтона – Якоби: , но так как в явном виде от не зависит, то , откуда

2. Уравнения для обобщенных импульсов в соответствии с уравнениями Якоби будут иметь вид:

и

Подставим его в гамильтониан:

3. С учетом п.п. 1 и 2 окончательно уравнение Гамильтона – Якоби имеет вид:

( )

4. Интегрируем , заменяя на :

5. Составляем производящую функцию

6. Используя уравнения Якоби

7. Обращаем выражение и найдем из него и

это и есть решение.

8. Согласно теореме Гамильтона – Якоби

Вопрос 4 Канонические преобразования методом Фон – Цейпеля. Предварительные рассуждения.

Решение канонических систем методом Гамильтона – Якоби и методом вариации произвольных переменных и с использованием метода Гамильтона – Якоби имеет ряд существенных недостатков:

1. большинство небесно – механических задач методом Гамильтона – Якоби не решаются,

2. последовательные решения методом канонических преобразований или методом вариации произвольных постоянной имеет существенные недостатки:

а) метод последовательных канонических преобразований чрезвычайно громоздок

б) и в том и в другом методе используют связи новых и старых переменных в виде формул Якоби

; (1)

и хотя это алгебраические выражения, но возникает необходимость их обращения:

- из последнего необходимо найти

- и исключить из первого уравнения с тем, чтобы иметь выражение

Но в большинстве случаев производящая функция столь сложна, что эта чисто алгебраическая задача становится трудноразрешимой.

3. во всех рассмотренных случаях производящую функцию необходимо искать из дифференциального уравнения в частных производных

, (2)

но в большинстве случаев эта задача является неразрешимой.

На преодоление вышеперечисленных трудностей и был направлен метод, предложенный в 1917 – 18 годах небесным механиком и математиком фон – Цейпелем.

Обратимся к производящей функции . С какой целью она введена? Она выполняет весьма важную функцию – при помощи уравнений Якоби она осуществляет связь между старыми и новыми переменными

Вариантов таких зависимостей всего 4, а именно:

(3)

Первый вариант использован в методе Гамильтона – Якоби. Второй вариант трудновыполнимый, так как зависимости между импульсами на много сложнее, чем между координатами. Третий вариант был использован Брауном и Шуком в их работе «Planetary Theory», London, 1933 y. Этот вариант не получил широкого распространения, так как не выдержал конкуренции с уже существующим методом фон – Цейпеля, который использовал четвертый вариант .

Производящую функцию фон – Цейпеля будем обозначать , и она имеет одну особенность, которая и способствовала методу фон – Цейпеля успех – первый член был определен весьма удачно, как скалярное произведение старых и новых переменных

то есть

(4)