Достоинства и недостатки метода фон – Цейпеля.

К достоинствам следует отнести

- упрощенное определение производящей функции и нового гамильтониана

К недостаткам

- связь старых и новых переменных остается такой же сложной, так как и зависят от старых и новых переменных и их необходимо обращать, чтобы получить

(23)

Обратный переход имеет такие же трудности

(24)

то есть надо обращать и .

Метод канонических преобразований Депри – Хори.

1. Общие сведения.

В 1966 г. японский математик Хори (G.I. Hori) предложил метод канонических преобразований с использованием рядов Ли и алгебры Ли. В теории Хори функции не представляются в виде степенных рядов по малому параметру .

В 1969 г. небесный механик А. Депри (A.Deprit) независимо от работ Хори в своем труде “Canonical transformations depending on a small parameter” (Celestial Mechanics, 1969 №1) также решил задачу канонических преобразований с использованием рядов Ли. Метод получил название “Метода Депри – Хори”.

2. Связь канонических преобразований с рядами Ли и Тейлора.

Пусть мы имеем произвольную функцию . Разложим ее в ряд Тейлора на временном интервале . Имеем:

(1)

Рассмотрим полные производные , как от сложной функции

(2)

Используем уравнения Гамильтона

(3)

Подставив в (2) мы получим

(4)

где ( ) – скобка Пуассона.

В алгебре Ли скобка Пуассона получила название производной Ли:

(5)

(Мы будем пользоваться скобкой Пуассона как давно используемой в небесной механике). Производная Ли (скобка Пуассона) является билинейной формой относительно и . Производные Ли имеют следующую связь со скобками Пуассона:

(6)

Депри поставил дополнительные условия для всех функций ( , производящей функции и и ), чтобы они были разложимы в ряд по малому параметру .

Для имеем:

(7)

Но легко показать, что

(8)

(9)

Это и есть ряд Ли (9). (Дж. Адамс «Лекции по группам Ли» М. «Наука» 1979 г.)

Перепишем разложение произвольной функции выражения (1) с учетом скобок Пуассона:

(10)

Аналогично для переменных и :

(11)

Аналогично для :

(12)

В преобразованиях Ли используется тот очевидный факт, что ряд Тейлора связывает два момента и - вся правая часть относится к моменту , а в пределе будет давать . Моменты и произвольны, поэтому ясно, что , и , сохраняют каноничность.

Введем обозначения

,

тогда (12) перепишем

(13)

В (13) имеется существенный недостаток – заданность функции , поэтому в виде (13) уравнения дают тождества.