Метод фон – Цейпеля.
Пусть задана система
; (1)
которую необходимо преобразовать к новой, более простой канонической системе
;
(2)
Из теории канонических преобразований известно, что новые переменные будут каноническими в том случае, если они удовлетворяют форме Пфаффа:
(3)
для нашей производящей функции. Полный
дифференциал от
имеет вид:
(4)
что сразу же дает нам формулы связи Якоби:
;
(5)
Кроме того, теорема Гамильтона – Якоби утверждает, что новый и старый гамильтонианы связаны в таком виде:
(6)
Новым в методе фон – Цейпеля является
предположение, что все функции
(гамильтониан и производящая функция
)
разложимы в ряд по малому параметру
:
(7)
На основании (7) и (5) имеем:
(8)
В связи с тем, что в большинстве небесно
– механических задач время в явном виде
в
не
входит, не будет оно входить и в
,
так как
.
Поскольку
и
характеризуют алгебраическую сумму
кинетической и потенциальной энергий,
то по закону сохранения энергии мы
имеем:
(9)
Используем уравнения связи (5) и перепишем их в виде:
(10)
или
(11)
где через
обозначено разложение производящей
функции
по степеням
.
Подставим (11) в (9) и разложим в ряд Тейлора
в окрестности точки фазового пространства
(12)
Левую и правую части выражения (12)
представим в виде разложения по степеням
малого параметра
(в нашем примере с точностью до
включительно):
(13)
Приравниваем левые и правые части (13) при равных степенях :
(14)
(15)
(16)
Из уравнения (15) можно найти
,
но это уравнение имеет два неизвестных
и
.
Поэтому
находят из усреднения
,
то есть:
(17)
Из (15) окончательно имеем:
(18)
2. Далее приступают к решению уравнений
(16), которые тоже имеют 2 неизвестных
и
.
Последние находят аналогично предыдущим
(19)
Имеем окончательно:
(20)
3. Определив
и
,
находим
4. Связь новых и старых переменных находят из уравнений Якоби
(21)
5. Находим новый гамильтониан
(22)
Таким образом, задача решена.