Аналитическое выравнивание динамического ряда. Построение модели тренда
Аналитической выравнивание динамического ряда имеет своей целью получение некоторой математической модели, которая наилучшим образом в заданном смысле выражает динамику анализируемого явления.
В качестве моделей тренда используются полиномы различных степеней, экспоненты и логарифмические кривые.
Процесс выравнивания динамического ряда состоит из двух основных этапов:
выбор типа кривой (формы), которая наилучшим образом подходит;
определения численных значений (оценка) параметров кривой.
Вопрос о выборе типа кривой является основным при выравнивании ряда. При всех прочих равных условиях ошибка в решении этого вопроса оказывается более значимой по своим последствиям, чем ошибка, связанная со статистическим оцениванием параметров.
Правильная идентификация тренда важна при построении прогноза.
Рассмотрим наиболее используемые типы уравнений тренда:
Линейная форма тренда:
где
–
уровень ряда, полученный в результате
выравнивания по прямой;
–
начальный уровень тренда;
–
средний абсолютный прирост, константа
тренда.
Для линейной формы тренда характерно равенство так называемых первых разностей (абсолютных приростов) и нулевые вторые разности, т. е. ускорения.
Параболическая (полином 2-ой степени) форма тренда:
Для данного типа кривой постоянными являются вторые разности (ускорение), а нулевыми – третьи разности.
Параболическая форма тренда соответствует ускоренному или замедленному изменению уровней ряда с постоянным ускорением.
Если
<
0 и
>
0, то квадратическая парабола имеет
максимум, если
>
0 и
<
0 – минимум.
Логарифмическая форма тренда:
где – константа тренда.
Логарифмическим трендом может быть описана тенденция, проявляющаяся в замедлении роста уровней ряда динамики при отсутствии предельно возможного значения. При достаточно большом t логарифмическая кривая становится мало отличимой от прямой линии.
Мультипликативная (степенная) форма тренда:
Полином 3-ей степени:
В рамках данной работы необходимо построить линейную модель тренда, полиномы 2-й и 3-й степени и степенную модель.
Для решения поставленной задачи по аналитическому сглаживанию динамических рядов в системе STATISTICA нам потребуется создать дополнительную переменную.
Нам предстоит построить уравнение тренда, которое по существу является уравнением регрессии, в котором в качестве фактора выступает «время». Создаем переменную «t», содержащую интервалы времени.
Первый период включает в себя 16 лет, с 1977-1992 гг., значит переменная «t» ,будет состоять из натуральных чисел от 1 до 16, соответствующих годам.
Второй период включает в себя 9 лет, с 1993-2001 гг., значит переменная «t» ,будет состоять из натуральных чисел от 1 до 9.
Третий период включает в себя 7 лет, с 2002-2008 гг., значит переменная «t» ,будет состоять из натуральных чисел от 1 до 7.
Уравнение тренда для первого периода 1977-1992 гг.
Линейная форма тренда
Рассмотрим
первую модель тренда - линейную,
.
Получим данные о параметрах линейного
уравнения тренда (рис. 3.9)
Рис. 3.9. Результаты расчета параметров линейной модели тренда по ряду экспорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Уравнение линейной модели тренда для экспорта имеет вид:
.
Параметры уравнения тренда в STATISTICA, как и в большинстве других программ, рассчитываются по методу наименьших квадратов (МНК).
Метод позволяет получить значения параметров, при которых обеспечивается минимизация суммы квадратов отклонений фактических уровней от сглаженных, то есть полученных в результате аналитического выравнивания:
Рис. 3.10. Результаты дисперсионного анализа линейной модели тренда по ряду экспорта Канады за период с 1977 по 1992 год.
Рис. 3.11. Исходный динамический ряд и линейный тренд по ряду экспорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Рис. 3.12. Результаты расчета параметров линейной модели тренда по ряду импорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Уравнение линейной модели тренда для импорта имеет вид:
.
Рис. 3.13. Результаты дисперсионного анализа линейной модели тренда по ряду импорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Рис. 3.14. Исходный динамический ряд и линейный тренд по ряду импорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Параболическая форма тренда
Рис. 3.15. Результаты расчета параметров параболической модели тренда по ряду экспорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Уравнение параболической модели тренда для экспорта имеет вид:
.
Рис. 3.16. Результаты дисперсионного анализа параболической модели тренда по ряду экспорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Рис. 3.17. Исходный динамический ряд и параболическая модель тренда по ряду экспорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Рис. 3.18. Результаты расчета параметров параболической модели тренда по ряду импорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Уравнение параболической модели тренда для импорта имеет вид:
.
Рис. 3.19. Результаты дисперсионного анализа параболической модели тренда по ряду импорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Рис. 3.20. Исходный динамический ряд и параболическая модель тренда по ряду импорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Степенная форма тренда
Рис. 3.21. Результаты расчета параметров степенной модели тренда по ряду экспорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Уравнение степенной модели тренда для экспорта имеет вид:
.
Рис. 3.22. Результаты дисперсионного анализа степенной модели тренда по ряду экспорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Рис. 3.23. Исходный динамический ряд и степенная модель тренда по ряду экспорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Рис. 3.24. Результаты расчета параметров степенной модели тренда по ряду импорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Уравнение степенной модели тренда для импорта имеет вид:
.
Рис. 3.25. Результаты дисперсионного анализа степенной модели тренда по ряду импорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Рис. 3.26. Исходный динамический ряд и степенная модель тренда по ряду импорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Полином 3-й степени
Рис. 3.27. Результаты расчета параметров модели тренда полином 3-й степени по ряду экспорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Уравнение степенной модели тренда для экспорта имеет вид:
.
Рис. 3.28. Результаты дисперсионного анализа модели тренда полином 3-й степени по ряду экспорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Рис. 3.29. Исходный динамический ряд и модели тренда полином 3-й степени по ряду экспорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Рис. 3.30. Результаты расчета параметров модели тренда полином 3-й степени по ряду импорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Уравнение степенной модели тренда для экспорта имеет вид:
.
Рис. 3.31. Результаты дисперсионного анализа модели тренда полином 3-й степени по ряду импорта Канады за период с 1977 по 1992 год
Рис. 3.32. Исходный динамический ряд и модели тренда полином 3-й степени по ряду импорта Канады за период с 1977 по 1992 год