1.8 Связь напряженности с потенциалом. Эквипотенциальные поверхности.

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом – энергетической характеристикой поля.

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и х₂-х₁=дх, равна EQдх. Та же работа равна . Приравняв оба выражения, можем записать

, (1.8.1)

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. повторив аналогичные рассуждения для оси у и z, можно найти вектор :

,

где - единичные векторы координатных осей х,y,z.

Из определения градиента следует, что выражение можно записать как

, или ,

где - набла -оператор. Следовательно, напряженность Е

поля равна градиенту потенциала со знаком минус.

Знак минус определяется тем, что вектор напряженности поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля пользуются эквипотенциальными поверхностями. Линии напряженности, а следовательно, и вектор всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Поэтому работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.

а б

Рис.1.8.1

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше.

На рис.1.8.1 для примера показан вид линий напряженности (штриховые линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей точечного положительного заряда (а) и заряженного металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, а на другом - впадину (б).

1.9 Вычисление разности потенциалов по напряженности поля.

Установленная связь между напряженностью поля и потенциалом позво­ляет по известной напряженности поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости определяется формулой , где - поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях х₁ и х₂ от плоскости (используем формулу (1.22)), равна

1. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей определяется формулой . Разность потенциалов между плоскостями, расстояние между которыми равно d, равна

. (1.9.1)

3. Поле равномерно заряженной сферической плоскости радиуса R с общим зарядом Q вне сферы (r > R) вычисляется по формуле .

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на r₁ и r₂ от центра сферы (r₁ > R, r₂ > R), равна

. (1.9.2)

Если принять r₁ = r и r₂ = , то потенциал пола вне сферической поверхности задается выражением . График зависимости от r приведен на рис.1.9.1

Рис.1.9.1

4. Поле равномерно заряженного цилиндра радиуса R, заряженного с линейной плотностью , вне цилиндра (r > R) определяется формулой . Следовательно, разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и r₂ от оси заряженного цилиндра (r₁>R, r₂ >R), равна

(1.9.3)

142