6. Матрицы и определители. Прямоугольную таблицу

А= ,состоящую из m строк и n столбцов, элементами которой являются действительные числа , где i – номер строки, j - номер столбца на пересечении которых стоит этот элемент, будем называть числовой матрицей порядка mxn и обозначать .

Рассмотрим основные типы матриц:

1. Пусть m = n, тогда матрица А – квадратная матрица, которая имеет порядок n:

А = . Элементы образуют главную диагональ, элементы образуют побочную диагональ.

Квадратная матрица называется диагональной , если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю:

А = = diag ( ). Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной , если все элементы главной диагонали равны 1:

Е = = diag (1, 1, 1,…,1).

Квадратные матрицы

А = , В = называются верхней и нижней треугольными соответственно.

2 . Пусть m = 1, тогда матрица А – матрица-строка, которая имеет вид:

3 . Пусть n=1, тогда матрица А – матрица-столбец, которая имеет вид:

4 .Нулевой матрицей называется матрица порядка mxn, все элементы которой равны 0.

5. Матрица называется транспонированной к матрице и обозначается , если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы .

Умножение матрицы на число.

Умножение матрицы А на число λ приводит к умножению каждого элемента матрицы на число λ:

λА = , λ R.

Из данного определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Сумма (разность) матриц .

Сумма (разность) определяется лишь для матриц одного порядка mxn.

Суммой (разностью) двух матриц А и В порядка m´n называется матрица С того же порядка, где = ± ( 1, 2, 3, …, m ,

j = 1, 2, 3, …, n.). Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В.

Произведение матриц.

Операция произведения определяется не для всех матриц, а лишь для согласованных.

Матрицы А и В называются согласованными , если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Так, если , , m≠k, то матрицы А и В согласованные, так как n = n, а в обратном порядке матрицы В и А несогласованные, так как m ≠ k. Квадратные матрицы согласованы, когда у них одинаковый порядок n, причем согласованы как А и В, так и В и А. Если , а , то будут согласованы матрицы А и В, а также матрицы В и А, так как n = n, m = m. Произведением двух согласованных матриц и

А= , В= называется матрица С порядка mxk:

= ∙ , элементы которой вычисляются по формуле:

( 1, 2, 3, …, m , j=1, 2, 3, …, k), то есть элемент i –ой строки и j –го столбца матрицы С равен сумме произведений всех элементов i –ой строки матрицы А на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В.

Матрица называется обратной к матрице ,если выполняются следующие равенства.

. Если определитель матрицы отличен от нуля, то матрицу называют не особо или невырожденной. Для того, чтобы матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Пусть имеем квадратную матрицу

и нужно найти обратную к ней. Для этого нужно выполнить следующие действия:

1. Найти определитель матрицы .  Если он не равен нулю то выполняем следующие действия. В противном случае данная матрица вырождена и для нее не существует обратной

2. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы . Они равны минорам, умноженным на  в степени суммы строки и столбца, для которого ищем.

3. Составить матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы  матрицы и протранспонировать ее. Эта матрица называется присоединенной или союзной и обозначается .

4. Разделить присоединенную матрицу на детерминант . Полученная матрица будет обратной и  иметь свойства, которые изложены в начале статьи.

Перестановки и подстановки, их свойства.

Определение.

Всякое расположение чисел в некотором определённом порядке называется перестановкой из n чисел (символов). Общий вид перестановки .

Всякое взаимно однозначное отображение A множества первых n натуральных чисел на себя называется подстановкой. Общий вид подстановки

Свойства перестановок и подстановок.

1. Число различных перестановок из n символов равно n!

2. Все n! перестановок из n символов можно расположить в таком порядке, что каждая следующая будет получаться из предыдущей одной транспозицией, причём начинать можно с любой перестановки.

3. Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.

4. При число чётных перестановок из n символов равно числу нечётных, т.е. n!

5. Число подстановок n-й степени равно числу перестановок из n символов, т. е. равно n!

6. Число чётных подстановок n-й степени равно числу нечётных, т.е. n!

7. Подстановка А будет чётной, если общее число инверсий в двух строках любой её записи чётно, и нечётной – в противоположном случае.

8. Произведение любой подстановки А на тождественную подстановку Е, а также произведение Е на А, равно А.

Определителем или детерминантом n-го порядка называется число записываемое в виде

                                         

Определители бывают второго, третьего и n-ого порядка.

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

Минором M_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n - 1)-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Алгебраическим дополнением A_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется число A_ij = (-1)^{i + j} · M_ij

Нахождение определителя n-го порядка.

1. Метод понижения порядка. Нахождение определителя n-го порядка сводится к вычислению п определителей (n – 1)-го порядка. Метод неэффективен.

2. Нахождение определителя сводится к вычислению одного определителя (n – 1)-го порядка. Для этого достаточно все элементы, кроме одного, в каком-либо столбце (строке) сделать равными нулю.

3. Приведение определителя к треугольному виду. Состоит в таком его преобразовании, когда все элементы, лежащие по одну сторону главной диагонали, становятся нулями. Полученный определитель равен произведению элементов главной диагонали

7. Полиномы над полем. Теория делимости.

Полином - это старое название многочлена. Поэтому все, что присуще многочлену, присуще и полиному.

Многочленом от одной переменной называется функция, которая может быть представлена в виде: (сумма степенных функция), где a-свободный член, а0, a1, a2...-некоторые действительные числа.

Сумма, разность и произведение двух многочленов так же являются многочленами.

Произведение:

Так как, сумма разность и произведение многочленов является многочленом, то многочлены образуют подкольцо кольца всех функций действительной переменной и обозначается: R[x].

Определение: два многочлена f(x) и g(x) являются равными, если коэффициенты при соответствующих степенях х равны. Пример: f(x)=g(x); и

Свойства операций сложения и умножения многочленов:

1. Коммутативность сложения: f(x)+g(x)=g(x)+f(x)

2. Ассоциативность сложения: f(x)+[g(x)+p(x)]=[f(x)+g(x)]+p(x)

3. Дистибутивность умножения относительно сложения: левое: f(x)*[g(x)+p(x)]=f(x)*g(x)+f(x)*p(x); правое: [f(x)+g(x)]*p(x)=f(x)*p(x)+g(x)*p(x).

4. Существование нуля. Нулевым многочленом называется многочлен у которого все коэффициенты равны нулю:

5. Существование противоположного элемента: f(x)+[-f(x)]=0(нулевой многочлен).

Выполнение свойств 1-5 означает, что многочлены с действительными коэффициентами сами образуют кольцо относительно операции сложения и умножения.

Определение: Степенью не нулевого многочлена называется наибольшее из числа k таких, что:

Пример: (Наибольшая степень х не равная нулю)

где 5-наибольшая степень х и значит сам многочлен пятой степени.

старший член.

Многочлен, старший член которого имеет коэффициент равный единице называется нормированным.

Пример: где при стоит единица называется нормированным.

Деление с остатком!

В общем случае в кольце многочленов деление в общем смысле слова как правило не возможно.

Например: деление на x+1

Однако, имеется возможность деления с остатком.

Теорема: Пусть f(x)-многочлен с коэффициентами из кольца K. Для любого многочлен f(x) можно единственным образом представить в виде: где С-остаток многочлена, а g(x)-неполное частное.

Определение: Число называется корнем многочлена f(x) если:

Пример:

Следствие теоремы-теорема Безу: Многочлен f(x) делится на тогда и только тогда, когда его корень.

Разделить многочлен на двучлен можно с помощью схемы Горнера.

Пример: Разделить многочлен на двучлен

	1;( ;не изменяется	0; ;(2*1)+0	-3; ;(2*2)-3	1;(x); (2*1)+1	5; ;(2*3)+5
2;(x=2)	1	2	1	3	11

, C=1

Для двух многочленов f(x) и g(x) можно найти многочлены p(x) и r(x) такие, что будет справедливо равенство:

Причем степень r(x) меньше степени g(x). r(x)-остаток от деления.

Определение: НОД(наибольший общий делитель) отличный от нуля многочленов f(x) и g(x) является многочлен d(x) который является их общим делителем и вместе с тем сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов.

Для нахождения НОД используется алгоритм Евклида: Пусть даны многочлены f(x) и g(x). Делим f(x) на g(x) и получаем остаток . Затем делим g(x) на получаем остаток . делим на и т.д. пока не получим НОД, т.е. остаток будет равен нулю.

8. Разложение полинома в произведение неприводимых множителей и его единственность.

Определение: Ненулевой элемент называется простым, если он не может быть разложен в произведение двух не обратимых элементов.

Простые элементы кольца многочленов называются неприводимыми многочленами, поскольку не обратимые элементы кольца многочленов отличны от нуля это многочлены положительной степени, то неприводимый многочлен, это такой многочлен положительной степени, который не может быть разложен в произведение двух многочленов положительной степени.

Определение: Многочлен, который может быть разложен в произведение двух многочленов положительной степени называется приводимым.

Определение: Неприводимый многочлен, такой многочлен положительной степени, который не может быть разложен в произведение двух многочленов меньшей степени.

Пример: -приводимый, а неприводимый.

Теорема: Всякий многочлен, не являющийся элементом поля может быть разложен в произведение неприводимых многочленов.

Пример: , где P(x) приводится следующим образом .

Если вынести за скобку старшие коэффициенты всех не приводимых множителей какого-либо разложения многочлена, то многочлен представится в виде:

Такое представление называется нормированным разложением на неприводимые множители.

Пример: многочлен не приводим над полем действительных чисел, тк как D(дискриминант)=-3, тогда решение будет находится в поле комплексных чисел:

Множитель присутствует в нормированном разложении многочлена P(x) на неприводимые множители тогда и только тогда, когда корень многочлена P(x), при этом кратность множителя равно кратности корня .

Таким образом, число множителей первой степени в разложении многочлена P(x) на неприводимые множители равно числу его корней(с учетом кратности).

Многочлен степени 2 или 3 неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет корней в данном поле.

9. Векторные пространства. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Подпространство.

Пусть p-некоторое поле.

Элементами данного поля могут быть как числа, так и другие объекты.

Определение: Множество V-называется векторным(линейным) пространством над полем p, если:

1. на V определена операция, называемая сложением: каждым двум элементам a,b V становится в соответствие элемент a+b из этого же пространства.

2. Определена операция называемая умножением элементов из V на числа из поля p, при a V, , где число, p (множество действительных чисел), в котором становится в соответствие элемент .

3. Эти операции удовлетворяю следующим свойствам: a,b,c V, :

а) a+b=b+a-свойство коммутативности

б) a+(b+c)=(a+b)+c-свойство ассоциативности

в) (квантор существования, EXISTENS): -существует нулевой элемент такой что: a+0=a

г) (Для любого элемента a существует единственный (!) противоположный элемент (-a) такой что (-a)+a=0.

д)

е)

ж)

з)

Если выполняются все эти свойства то пространство векторное.

Простым случаем векторного пространства является арифметическое пространство. Например: трехмерное пространство состоящее из векторов .

Пример: множество матриц двумерного пространства:

,

Множество матриц является векторным пространством.

Простейшие следствия:

1. вектор

2. нулевой вектор

3. если или ( нулевой вектор)

4.

5.

6.

7.

10. Линейная зависимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов.

Пусть дана система векторов

вектор называется линейной комбинацией векторов

Определение: Векторы линейно зависимы или образуют линейно зависимую систему, если среди них находится вектор, который можно линейно выразить через остальные.

Определение: Если ни один из векторов нельзя представить в виде линейной комбинации векторов, то такая система векторов называется независимой.

Если система состоит из единственного вектора, то она является линейно зависимой только тогда, когда этот вектор является нулевым.

Система из двух векторов линейно зависима только тогда, когда векторы пропорциональны.

Определение: Система векторов называется линейно зависимой, если существуют числа не равные одновременно нулю, такие что выполняется равенство: равно нулевому вектору.

Определение: Система векторов называется линейно независимой если выполняется равенство только в случае

Пример: вектора

=0

-решение методом Гаусса

=0

-система векторов линейно зависима.

Пример:

=0 -система линейно независима.

Пространственные свойства линейной зависимости:

1. Если среди векторов системы имеется нулевой вектор, то система линейно зависима.

2. Если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

3. Если система линейно независима, но при добавлении к ней еще одного вектора становится линейно зависимой, то этот вектор линейно выражается через вектор исходной системы.

4. Диагональная система векторов всегда линейно независима.

Теорема: В n-мерном пространстве любая система, состоящая более чем из n-векторов всегда линейно зависима.

Пусть даны две системы векторов: , где n>s

Тогда, если каждый вектор первой системы линейно выражается через вектор второй системы, то первая система линейно зависима.

Пусть в n-мерном векторном пространстве дана произвольная система векторов.

Определение: Подсистема - есть базис системы S, если:

1. она линейно независима

2. добавление к подсистеме любого другого вектора из системы S превращает эту подсистему в линейно зависимую.

Другими словами, базис системы S линейно независимая подсистема, через которую линейно выражается любой вектор системы S.

Базис любой системы векторов n-мерного пространства всегда содержит не более чем n-векторов.

Теорема о базисах: Два различных вектора одной и той же системы векторов содержит одинаковое количество векторов.

Определение: Рангом системы векторов называется число векторов в любом базисе системы. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.

11. Системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений.

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс i-обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.

Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.

Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Две СЛАУ называют равносильными если каждое решение любой из этих систем является решением другой системы.

В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид , где - основная матрица системы, - матрица-столбец неизвестных переменных, - матрица-столбец свободных членов.

Определение: Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений.

Элементарными преобразованиями называются такие преобразования расширенной матрицы, которые не меняют множество решений системы. Знак элементарного преобразования:  или ~.

К элементарным преобразованиям относятся:

1) перемена строк метами.

2) перемена местами столбцов с запоминанием какому неизвестному соответствует каждый столбец.

3) умножение (деление) строки на число, отличное от нуля.

4) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и тоже число.

5) вычеркивание одной из двух пропорциональных (в частности, равных) строк.

6) вычеркивание нулевой строки.

Теоремы равносильности

Теорема 1. Если любое выражение, входящее в уравнение, заменить тождественно равным ему на области определения уравнения выражением, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если к обеим частям уравнения прибавить выражение, имеющее смысл на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

Следствие. Если любое слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Если обе части уравнения умножить (разделить) на выражение, имеющее смысл и отличное от нуля на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 4. Уравнение

равносильно совокупности систем