16. Многочлены от нескольких переменных, симметричные многочлены.

Пусть K некоторое множество. Многочленом от с коэффициентами из K называется выражение вида: где -элементы кольца K, которое пробегает конечное множество неотрицательных целых чисел.

Пример:

Будем называть всякое формальное слагаемое входящее в состав многочлена будем называть членом многочлена, а -его коэффициентом.

Многочлены будем считать равными, если для любых коэффициенты при равны.

Из определения многочленов следует, что порядок членов в записи многочленов не существенен и что приписывание или отбрасывание членов с нулевыми коэффициентами не меняет многочлена.

Определим сложение многочленов следующим образом:

Пусть даны два многочлена: и

Тогда получим:

Произведение многочленов:

, где , где

Пример: перемножаем каждый член на каждый как обычное умножение.

Свойства операций над многочленами:

1. Коммутативность сложения

2. Ассоциативность сложения

3. Существование нуля. Роль нулевого элемента играет многочлен, все коэффициенты которого равны нулю.

4. Существование противоположного многочлена:

5. Дистрибутивность умножения относительно сложения: f,g,q-многочлены: f(g+q)=fg+fq правая и левая: (g+q)f=gf+qf

Так как выполняются свойства 1-5 то многочлены образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.

Многочлены, не содержащие , то есть состоящие из одного свободного члена будем отождествлять с элементами кольца K, основываясь на том, что свойства 1-5 выполняются.

6. Коммутативность умножения fq=qf

7. Ассоциативность умножения

8. Существование единицы. Роль единицы играет многочлен состоящий из единицы.

Таким образом, многочлены от n-переменных представляют собой коммутативное, ассоциативное кольца с единицей. Делителей нуля нет.

Определение: Степенью не нулевого многочлена равны сумме их степеней.

Симметрические многочлены.

Определение: Многочлен называется симметрическим если он не меняется при любой перестановке переменных.

Пример: -симметрический многочлен

не симметрический.

Строение симметрических многочленов можно представить в виде: Пусть некоторая перестановка чисел 1,2,…,n. Если симметрический многочлен содержит член , то он и должен содержать член .

Симметрический многочлен является суммой однородных симметрических многочленов. Особую роль среди симметрических многочленов играют так называемые элементарные симметрические многочлены:

Определение: Многочлен называется однородным степени m, если все его члены имеют степень m.

Пример:

Очевидно, что сумма двух однородных многочленов одинаковой степени, есть однородный многочлен той же степени.

Произведение однородных многочленов степени и есть однородный многочлен степени .

17. Многочлены над числовым полем.

Алгебраически замкнутое поле-это поле K в котором каждый многочлен не нулевой степени над полем K имеет хотя бы один корень.

Пример: поле комплексных чисел является алгебраически замкнутым.

Пример: поле действительных чисел не является алгебраически замкнутым, то есть:

Свойства:

1. В алгебраически замкнутом поле K каждый многочлен степени n имеет ровно n корней в этом поле ( с учетом кратности)

2. Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Например: можно рассматривать многочлен конечной степени, корнями которого являются все элементы поля, если к нему прибавить единицу, то многочлен не будет иметь корней.

3. Алгебраическим замыканием поля действительных чисел является поле комплексных чисел, его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.

4. Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.

5. Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.

Определение: Число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.

Пример:

Теорема Виета: Если многочлен P(x) степени n имеет n различных корней то имеет место следующие соотношения:

В случае, когда уравнение четвертой степени имеем: , где

Корни будут:

Основная теорема алгебры (теорема Гаусса): Всякий многочлен n-ой степени имеет по крайней мере один комплексный корень.

Следствие: Многочлен степени n с комплексными коэффициентами и со старшим коэффициентом разлагается в произведение n сомножителей вида , то есть:

Теорема: Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень то он имеет и сопряженный корень .

Теорема: Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается в произведение многочленов первой степени и второй степени (не имеющей действительных корней) с действительными коэффициентами.

Теорема: для того, чтобы несокращаемая дробь была корнем многочлена с целыми коэффициентами необходимо, чтобы число p было делителем свободного члена , а число q знаменателем старшего члена .