13. Базис и размерность конечного векторного пространства.

Рассмотрим конечное векторное пространство.

Определение: Пространство называется n-мерным если в нем существует линейно независимая система состоящая из n-векторов, а любая система, состоящая из большего числа векторов всегда линейно зависима.

Бесконечное пространство, например: множество функций вида -множество натуральных чисел.

Пример n-мерное пространство: пространство с расширением (диминейшен)3 и 2 ( или )

Базисом n-мерного векторного пространства называется любая линейно независимая подсистема этой системы состоящая из n-элементов.

Следствие: Любые два базиса векторного пространства состоят из одинакового числа векторов (n-векторов, если n-мерное пространство).

Число векторов в любом базисе равно n, где n-размерность пространства.

Любая система из n-линейно независимых векторов является базисом, так как добавление к этой системе хотя бы одного вектора делает ее линейно зависимой.

Теорема: В конечном пространстве V любая система векторов, содержащая хотя бы один не нулевой вектор обязательно имеет базис.

14. Евклидовы пространства. Ортонормированные базы.

Скалярное произведение можно определить алгебраически и геометрически.

Алгебраически: ;

а)

б)

Геометрически: - длина вектора а на длину вектора b и на косинус угла между ними.

Определение: Векторное n-мерное пространство над полем действительных чисел в котором определена операция скалярного умножения и выполняются свойства 1-4 называется евклидовым пространством(евклидово векторное пространство).

Свойства скалярного произведения:

1) , причем ,если

2) свойство коммутативности

3) , где k-число

4)

Ортогональность - перпендикулярность. Вектора базиса перпендикулярны.

В ортонормированных базисах их длина равна единице. Все вектора базиса попарно перпендикулярны.

Определение: Вектор евклидова пространства называется нормированным или единичным если его модуль равен единице.

Определение: Базис называется ортонормированным, если:

1. этот базис ортогональный

2. каждый из базисных векторов является нормированным.

Базис является ортогональным если:

1)

2)

15. Многочлены от одной переменной. Деление многочленов.

Полином - это старое название многочлена. Поэтому все, что присуще многочлену, присуще и полиному.

Многочленом от одной переменной называется функция, которая может быть представлена в виде: (сумма степенных функция), где a-свободный член, а0, a1, a2...-некоторые действительные числа.

Сумма, разность и произведение двух многочленов так же являются многочленами.

Произведение:

Так как, сумма разность и произведение многочленов является многочленом, то многочлены образуют подкольцо кольца всех функций действительной переменной и обозначается: R[x].

Определение: два многочлена f(x) и g(x) являются равными, если коэффициенты при соответствующих степенях х равны. Пример: f(x)=g(x); и

Свойства операций сложения и умножения многочленов:

1. Коммутативность сложения: f(x)+g(x)=g(x)+f(x)

2. Ассоциативность сложения: f(x)+[g(x)+p(x)]=[f(x)+g(x)]+p(x)

3. Дистибутивность умножения относительно сложения: левое: f(x)*[g(x)+p(x)]=f(x)*g(x)+f(x)*p(x); правое: [f(x)+g(x)]*p(x)=f(x)*p(x)+g(x)*p(x).

4. Существование нуля. Нулевым многочленом называется многочлен у которого все коэффициенты равны нулю:

5. Существование противоположного элемента: f(x)+[-f(x)]=0(нулевой многочлен).

Выполнение свойств 1-5 означает, что многочлены с действительными коэффициентами сами образуют кольцо относительно операции сложения и умножения.

Определение: Степенью не нулевого многочлена называется наибольшее из числа k таких, что:

Пример: (Наибольшая степень х не равная нулю)

где 5-наибольшая степень х и значит сам многочлен пятой степени.

старший член.

Многочлен, старший член которого имеет коэффициент равный единице называется нормированным.

Пример: где при стоит единица называется нормированным.

Деление с остатком!

В общем случае в кольце многочленов деление в общем смысле слова как правило не возможно.

Например: деление на x+1

Однако, имеется возможность деления с остатком.

Теорема: Пусть f(x)-многочлен с коэффициентами из кольца K. Для любого многочлен f(x) можно единственным образом представить в виде: где С-остаток многочлена, а g(x)-неполное частное.

Определение: Число называется корнем многочлена f(x) если:

Пример:

Следствие теоремы-теорема Безу: Многочлен f(x) делится на тогда и только тогда, когда его корень.

Разделить многочлен на двучлен можно с помощью схемы Горнера.

Пример: Разделить многочлен на двучлен

	1;( ;не изменяется	0; ;(2*1)+0	-3; ;(2*2)-3	1;(x); (2*1)+1	5; ;(2*3)+5
2;(x=2)	1	2	1	3	11

, C=1

Для двух многочленов f(x) и g(x) можно найти многочлены p(x) и r(x) такие, что будет справедливо равенство:

Причем степень r(x) меньше степени g(x). r(x)-остаток от деления.

Определение: НОД(наибольший общий делитель) отличный от нуля многочленов f(x) и g(x) является многочлен d(x) который является их общим делителем и вместе с тем сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов.

Для нахождения НОД используется алгоритм Евклида: Пусть даны многочлены f(x) и g(x). Делим f(x) на g(x) и получаем остаток . Затем делим g(x) на получаем остаток . делим на и т.д. пока не получим НОД, т.е. остаток будет равен нулю.