Соотношение неопределенностей

Пусть материальная точка массы m движется вдоль оси x. В некоторый момент времени она занимает место с координатой x и обладает определенным импульсом . Спустя некоторое время частиц имеет x₁ и p₁. Совокупность последовательных положений движущейся точки образует траекторию ее движения. Если известны силы , действующие на материальную точку, то по второму закону Ньютона можно рассчитать все последовательные координаты X и значения импульса Р:

Эти выражения представляют собой принцип причинности в классической механике: если известны силы F_x , действующие на материальную точку, то из них можно определить приращения ее координаты (dx) и импульса (dp_x) в последовательные промежутки времени и тем самым рассчитать все ее движение. То есть:

• Материальная точка обладает одновременно определенными значениями координаты и импульса.

• Совокупность последовательных положений движущейся точки образует определенную линию в пространстве – траекторию.

• Принцип причинности позволяет определить положение и импульс движущейся точки на ее траектории в любой последовательный момент времени.

Принципиально иначе обстоит дело с локализацией волновых процессов.

1. Волна – протяженный объект, заполняющий определенную область пространства, а не сосредоточенный в одной точке с координатой .

Для упрощения рассмотрим одномерное распространение волны вдоль оси Х. Любая волна характеризуется волновой функцией . В нашем случае  - функция двух переменных:

Л окализация волновой функции в пространстве может быть различной. Простейшая монохроматическая волна, распространяющаяся вдоль оси Х, показана на рис.22 (мгновенный снимок). Пунктиром показано положение волны через некоторый промежуток времени. Такая волна заполняет все бесконечное пространство. Интервал координат , в котором заключен волновой отрезок, равен бесконечности.

Для электронных волн . Т.к. для монохроматической волны  является постоянной, то ей отвечает вполне определенное значение импульса, т.е. , в котором заключены возможные значения импульса, равно нулю. Следовательно, чисто монохроматическая волна характеризуется:

Следовательно, такой волновой объект имеет вполне определенный импульс ( ) и совершенно неопределенную координату ( ) - область локализации .

2. Волновой пакет - волна, локализованная в некотором интервале , отличная от нуля внутри этого интервала и практически равная нулю вне интервала . Эта суперпозиция монохроматических волн с различными значениями , рис.22.

Н а рис.23 (А) показан набор таких волн с различными длинами волн, от  до + представляющий собой волновой пакет, рис.23 (Б). Результирующая волновая функция практически отлична от нуля в некотором интервале х. Однако при такой пространственной локализации волны начинают терять определенность понятия длины волны, а значит и импульса Р частицы, связанного с волной. Волновой пакет это набор монохроматических волн, импульсы которых заключены в интервале: .

Чем в более узком интервале локализована волна, тем более широкий интервал для интерферирующих волн (а, следовательно, и интервал импульсов ) входит в пакет, представляющий эту волну. Следовательно, увеличение определенности в локализации волн (уменьшение ) связано с одновременным возрастанием неопределенности . В пределе:

Такой волновой пакет имеет вполне определенную координату , но совершенно неопределенный импульс.

На рис.23 показан набор таких волн с различными длинами волн, от  до + представляющий собой волновой пакет. Результирующая волновая функция практически отлична от нуля в некотором интервале . Однако при такой пространственной локализации волны начинают терять определенность понятия длины волны, а значит и импульса Р частицы, связанного с волной. Волновой пакет это набор монохроматических волн, импульсы которых заключены в интервале:

С электроном отождествляется волна де Бройля, для которой справедливы все приведенные выше рассуждения. Следовательно: Электрон, так же как и фотон, не может иметь одновременно определенную координату х и импульс Р_x.¹

Соотношение между и проанализировал впервые Гейзенберг. Он исходил из серии "мысленных" опытов. Давайте рассмотрим один из этих опытов.

Чтобы определить положение и импульс электрона, нужно "осветить" его и получить хотя бы один рассеянный при столкновении фотон. При этом, вследствие дифракции, точность в определении координаты электрона не может быть больше длины волны излучения: . Чем точнее нужно измерить положение электрона, тем меньше должно быть . Но при рассеянии фотона электрон получает отдачу и его импульс меняется на величину порядка импульса фотона: , что и составит погрешность в определении его импульса.

Следовательно: .

Аналогично и для других координат: . Это соотношение показывает, что с увеличением массы ограничения, вносимые ими в возможность применения классических понятий координаты и скорости, уменьшаются.

В самом деле, ввиду малости h, неопределенности в значениях координаты и скорости из формулы: становятся пренебрежительно малыми у тел с m, во много раз большей масс частиц, находящихся в атоме.

Существуют разные способы вывода соотношения неопределенностей. Рассмотрим один из них. Предположим, рис.24, что на пути строго параллельного пучка микрочастиц с импульсом поставлен экран с узкой щелью, ширина которой в направлении оси - . При прохождении частиц через щель происходит дифракция.

Пусть - угол на первый дифракционный максимум. Классическая волновая теория дает: . Полагая достаточно малым, перепишем: . Если теперь под величиной  понимать длину волны де Бройля (т.е. волновую характеристику микрообъекта) то можно переписать на "корпускулярном языке":

;

Как понимать на "корпускулярном языке" сам факт существования угла ? Очевидно, что этот факт означает, что при прохождении через щель микрообъект приобретает некоторый импульс в направлении оси . Легко видеть из рисунка, что . Тогда:

т.е. приходим к соотношению неопределенностей.

Если в некоторый момент времени точно замерить местоположение частицы, то это уничтожит все шансы измерить ее скорость (импульс). Это в новой формулировке отражает свойственный природе дуализм волна-частица. Если решено точно измерить скорость электрона, то это позволит определить его импульс и длину волны. Длина волны электрона находится путем измерения длиной последовательности волн (длинного цуга), что отрезает путь к рассмотрению электрона в виде компактной частицы и, следовательно, его положения.

Если определяется положение, том самым подразумевается, что электрон - частица, и оставляется в стороне вопрос о его природе волновой, что уничтожает возможность что-либо сказать о его импульсе. Это результат наших попыток навязать не свойственное природе обличие. На микроскопическом уровне атомы, электроны и кванты ведут себя не как волны и не как частицы.

Соотношение неопределенностей для координаты и импульса не является единственным. Аналогичным образом связаны между собой время и энергия. Рассмотрим его следующим образом.

Неопределенность в положении регистрируемого объекта составляет, как мы уже говорили, . Фотон (или электрон) с помощью которого происходит регистрация, движется со скоростью V и проходит отрезок, равный неопределенности в положении, за время . Следовательно, неопределенность в моменте времени, когда объект находится в заданном положении составляет:

.

Так как фотон может передать объекту либо часть совей энергии ( ), либо всю энергию, неопределенность в энергии объекта в результате равна: . Тогда:

Сформулируем принцип неопределенностей в общем виде. Произведение неопределенностей значений двух канонически сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка.

В различных источниках в правой части соотношения неопределенностей можно встретить как , так и  и даже . Гейзенберг со своими сотрудниками очень тщательно исследовал этот вопрос и установил, что любая из этих величин является приемлемой. Более удобно брать величину Следовательно, можно записать: