Уравнение Шредингера
Классическая
механика позволяет определить положение,
энергию и импульс макроскопического
тела, а также их изменение. Для этого
используется второй закон Ньютона:
.
Ньютон постулировал этот закон, он не
выводится каким-либо образом, а проверяется
справедливостью решений, вытекающих
из этого закона.
В квантовой механике возникает важнейшая проблема: отыскание такого уравнения, которое являлось бы тем же, чем является уравнение движения Ньютона для классической механики. При постановке задачи описания движения частицы в пространстве и времени нужно сразу же учесть что для частицы микромира характерна двойственность свойств, которая ограничивает возможность применения к таким частицам классических понятий о координатах и скорости (импульсе). Классическому дифференциальному уравнению движения микротела квантовая механика сопоставляет линейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. Австрийский физик Шредингер (1926 г.) сопоставил движению микрочастицы комплексную функцию координат и времени - волновую функцию.
Вид волновой функции, которая характеризует состояние микрочастицы, получается из уравнения Шредингера:
(2.4)
-
масса частицы;
;
- оператор Лапласа:
(2.5)
наличие мнимой единицы "i" приводит к тому, что решение (2.4) является периодичным. - функция координат и времени, градиент которой, взятый с обратным знаком, определяет силу, действующую на частицу. Если U не зависит от времени, то она имеет смысл потенциальной энергии частицы. Вид волновой функции определяется функцией U, то есть, в конечном счете, характером сил, действующих на частицу.
Уравнение Шредингера - основное уравнение нерелятивистской квантовой механики. Это уравнение постулируется, так же как и уравнение движения материальной точки в классической механике. Шредингер установил его из оптико-механической аналогии. Эта аналогия заключается в сходстве уравнений, описывающих траектории частиц аналитической механики с уравнениями, определяющими ход световых лучей. В оптике ход лучей удовлетворяет принципу Ферма, в механике вид траектории удовлетворяет принципу наименьшего действия.
Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то U не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае уравнение Шредингера распадается в решении на два сомножителя, один из которых зависит только от координат, другой только от времени:
(2.5)
E - полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной. Чтобы убедится в справедливости (2.5) подставим его в (2.3):
Сократим
на общий сомножитель
. Тогда придем к дифференциальному
уравнению, определяющему
:
(2.6)
Уравнение (2.6) - уравнение Шредингера для стационарных состояний. Это уравнение можно представить в виде:
(2.7)
Покажем, как можно прийти к уравнению Шредингера. Ограничимся одномерным случаем. Рассмотрим свободно движущуюся частицу. Согласно гипотезе де Бройля сопоставим ей плоскую волну, представив ее в виде:
(В
квантовой механике принято брать знак
минус перед показателем экспоненты).
Поскольку
,
то
(2.8)
Продифференцируем (2.8) один раз по времени, а второй раз дважды по :
Тогда:
В нерелятивистской механике:
Подставим значения:
и окончательно:
Это выражение совпадает с уравнением Шредингера при U=0. Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, энергия и импульс связаны соотношением:
,
тогда
