Операторы
Очень важным в физике микромира является понятие среднего значения. Рассмотрим в качестве примера N молекул, движущихся с разными скоростями и, следовательно, имеющих разные значения энергии. Среднее значение энергии тогда определится:
(2.10)
Другой способ определения средней энергии заключается в следующем.
Найдем
число молекул
,
энергия которых заключена между
и
.
Произведем подсчет для всех значений
энергии. Сумма, стоящая в выражении
(2.10), тогда запишется:
Эта
формула не является вполне точной, так
как непрерывно меняющуюся энергию мы
заменили дискретным набором
.
Однако при достаточно мелком разбиении
эта неточность может быть сделана сколь
угодно малой.
Тогда формула для определения средней энергии принимает вид:
(2.11)
определяет долю
молекул, энергия которых лежит в k-ом
интервале или, что тоже самое, вероятность
молекуле иметь заданную энергию
(заметим,
что сумма всех вероятностей, как всегда
равна единице
).
При непрерывном
распределении вероятности попасть в
бесконечно малый интервал между
и
зависит от выбранного значения
и от ширины интервала
и обозначается поэтому
.
Функция
,
определяющая в нашем случае распределение
молекул по энергиям имеет максимальное
значение вблизи какого-то значения Е и
падает как при увеличении так и при
уменьшении энергии от этого выбранного
значения. Функция
носит название плотность
вероятности.
При непрерывных распределениях сумма (2.11) должна быть заменена интегралом:
(2.12)
Интеграл
(10) берется по всем возможным значениям
энергии от
до
,
или от
до
.
В общем случае, когда имеется среднее
значение какой-то величины
,
плотность вероятности обозначается
.
Перейдем теперь
к задаче об определении среднего значения
координаты
для микрочастицы, обладающей волновой
функцией
.
Квадрат модуля волновой функции, как
мы уже говорили, является плотностью
вероятности нахождения частицы в
окрестности
.
Согласно (2.12) среднее значение координаты
будет:
или
(2.13)
Повторяя
проведенные рассуждения для вычисления
среднего значения
,
нетрудно убедится, что:
и,
что вообще, среднее значение любой
функции
равно:
(2.14)
Общее
утверждение квантовой механики
заключается в том, что среднее значение
любой физической величины
находится по формуле:
(2.15)
где
- оператор физической величины
.
Сравнение формул (2.13), (2.14) с (2.15) показывает,
что оператор
сводится к простому умножению на
,
а оператор
- к умножению на функцию
.
Оператор
- это правило, посредством которого
одной функции
()
сопоставляется другая функция (
).
Символически
это записывается:
или
,
-
оператор. Под символом оператора
скрывается совокупность действий, с
помощью которых исходная функция ()
превращается в (
).
Оператор может представлять собой
умножение U на некоторую функцию
.
,
т.е.
-
оператор умножения.
Если
рассматривать U в уравнении Шредингера
как оператор умножения, то ему можно
придать вид:
,
где
- сумма операторов:
- оператор Гамильтона
(гамильтониан) - является оператором
энергии E. В квантовой механике другим
динамическим переменным также
сопоставляются операторы (координат,
импульса, момента импульса и т.д.). Для
каждой динамической переменной q
составляется аналогичное уравнение:
(или
).