2.2. Поверхні обертання

Поверхню, утворену обертанням заданої плщини кривої l навколо заданої прямої (осі обертання), яка лежить в площині кривої l, називають поверхнею обертання.

Нехай лінія l, що лежить в площині Oyz, задана рівнянням

(Х, Y, Z – змінні координати точок лінії l, а х, y, z – змінні координати точок поверхні).

Розглянемо поверхню, утворену обертанням цієї лінії навколо осі Oz (рис. 12.4), і знайдемо рівняння поверхні обертання.

П роведемо через довільно точку поверхні обертання площину, перпендикулярну до осі Oz, і позначимо через К і N точки перетину цієї площини з віссю Oz і лінією l. Оскільки відрізки , і рівні між собою як радіуси, , , то , крім того . Оскільки координати точки N задовольняють рівняння , то, підставляючи в це рівняння замість Y, Z рівні їм величини , z, дістанемо рівняння

, (.3)

яке задовольняє довільна точка поверхні обертання. Можна показати, що координати точок, які не лежать на цій поверхні, рівняння (3) не задовольняють. Отже, рівняння (3) є рівнянням поверхні обертання.

Аналогічно можна скласти рівняння поверхонь обертання навколо осей Ох і Оу. Таким чином, щоб отримати рівняння поверхні обертання кривої навколо якої-небудь координатної осі, треба в рівнянні кривої залишити без зміни координату, яка відповідає осі обертання, а другу координату замінити на квадратний корінь із суми квадратів двох інших координат, взятий із знаком або –.

Приклад. 3. Знайти рівняння поверхні, утвореної при обертанні еліпса , навколо осі Ох.

 У рівнянні еліпса треба залишити без зміни координату х, а замість координати у підставити в рівняння : або . 

2.3. Конічні поверхні

К онічною поверхнею називається поверхня, утворена множиною прямих, що проходять через задану точку Р і перетинають задану лінію L. При цьому лінія L називається напрямною конічної поверхні, точка Р – її вершиною, а кожна з прямих, які утворюють конічну поверхню, – твірною.

Нехай напрямна L задана в прямокутній системі координат рівняннями

(4)

а точка – вершина конічної поверхні (рис. 12.5). Щоб скласти рівняння канонічної поверхні, візьмемо на поверхні довільну точку і позначимо точку перетину твірної РМ з напрямною L через .

Канонічні рівняння твірних, які проходять через точки N і Р, мають вигляд

. (5)

Виключаючи Х, Y, і Z з рівнянь (12.4) і (12.5), дістанемо шукане рівняння конічної поверхні.

Н ехай – довільна точка конічної поверхні, а – точка перетину твірної ОМ і лінії L. Канонічні рівняння твірної ОМ мають вигляд . Оскільки , то , . Підставляючи ці значення Х і Y в перше з рівнянь напрямної L, одержимо рівняння конічної поверхні з вершиною в точці і з напрямною L, заданою рівнянням , : , тобто рівняння конуса з вершиною в початку координат, віссю якого служить вісь Oz, записується у вигляді . Аналогічно, рівняння і визначають конуси другого порядку з вершиною в початку координат, осями яких служать відповідно вісі Оу і Ох. При маємо поверхню, яка називається прямим круговим конусом (рис. 6), напрямною якої L є коло , , значить, рівняння такої конічної поверхні має вигляд . Наприклад, рівняння конічної поверхні, вершиною якої є точка , а напрямною – еліпс (рис. 7) , має вигляд .

Приклади. 4. По якій лінії перетинається конус з площиною ?

 Виключивши з системи рівнянь у, отримаємо або . Отже, шуканою лінією перетину є гіпербола, яка лежить в площині ; її дійсна вісь паралельна осі аплікат, а уявна – осі абсцис. 

5. Скласти рівняння конічної поверхні, вершиною якої є точка , а напрямною – еліпс

.

 Складемо рівняння твірної АМ, де – точка, яка належить еліпсу. Рівняння цієї твірної має вигляд . Так як точка А лежить на еліпсі, то її координати задовольняють рівняння еліпса, тобто Виключивши тепер з системи , отримаємо рівняння шуканого конуса . 