6.2. Гіперболічний параболоїд
Г
іперболічним
параболоїдом
називається
поверхня, яка в деякій прямокутній
системі координат визначається рівнянням
,
(13)
що є канонічним рівнянням гіперболічного параболоїда. Ця поверхня має форму сідла (рис. 14).
Лініями паралельних перерізів гіперболічного параболоїда є гіперболи або параболи.
7. Лінійчаті поверхні
Поверхні, твірними яких є прямі лінії, називаються лінійчатими. Такими поверхнями є циліндричні та конічні поверхні. Розглянемо рівняння однопорожнинного гіперболоїда (10) і запишемо його у вигляді
.
(14)
Складемо систему рівнянь:
(15)
де k – довільний, відмінний від нуля параметр.
При певному значенні параметра k кожне з рівнянь системи (15) визначає площину, а кожна з систем визначає пряму лінію як перетин площин.
Я
кщо
перемножити рівняння (15) почленно, то
дістанемо рівняння (14). Тому довільна
точка
,
що задовольняє систему (15), лежить на
поверхні (14). Це означає, що кожна з прямих
(15) повністю лежить на поверхні
однопорожнинного гіперболоїда (рис.
15). Отже, однопорожнинний гіперболоїд
– лінійчата поверхня. Те саме стосується
і гіперболічного параболоїда (13).
Зазначимо, що однопорожнинні гіперболоїди застосовуються в будівництві. Спорудження різноманітних висотних веж з використанням прямолінійних твірних однопорожнинного гіперболоїда поєднує в собі міцність конструкції і простоту її виконання. Ідея використання однопорожнинного гіперболоїда в будівництві належить російському вченому В. Г. Шухову. За проектом Шухова побудована телевізійна вежа на Шаболовці в Москві. Вона складається з секцій однопорожнинних гіперболоїдів обертання.
Приклад.
13.
Знайти ті прямолінійні твірні
гіперболічного параболоїда
,
які проходять через точку
.
Запишемо
задане рівняння у вигляді
.
Складемо систему рівнянь
Підставивши координати точки А
в перше рівняння, знайдемо
.
Отже, пряма
,
або
є однією з тих твірних заданого параболоїда, яка проходить через точку А. Другу твірну знаходимо аналогічно з системи
Ознайомившись
з усіма дійсними поверхнями, можна
завершити аналіз загального рівняння
другого порядку. При
,
,
загальне рівняння набуває вигляду
.
В цьому випадку рівняння легко спрощується застосуванням паралельного перенесення координатних осей, що дозволяє відразу встановити його геометричний зміст.
Приклад. 14. Звести до канонічного вигляду рівняння:
1)
;
2)
.
1) Згрупуємо члени з однаковими координатами:
.
Доповнивши до повних квадратів вираз у дужках, отримаємо
,
або
.
Проведемо
паралельне перенесення координатних
осей, взявши за новий початок координат
точку
.
Формули перетворення мають вигляд
,
,
.
Тоді рівняння поверхні записується у
вигляді
,
або
.
Це рівняння визначає еліпсоїд; його центр знаходиться в новому початку координат, а напіввісі відповідно дорівнюють 3, 2, і 1.
2)
Згрупуємо члени, які містять х
і у:
.
Доповнюємо до повних квадратів вираз у дужках:
,
або
.
Проведемо
паралельне перенесення координатних
осей, взявши за новий початок координат
точку
.
Тоді
,
,
.
В результаті отримаємо рівняння
,
яке визначає гіперболічний параболоїд.