5. Гіперболоїд

Гіперболоїдом називається поверхня другого порядку, утворена обертанням навколо осі симетрії гіперболи. Існує два види гіперболоїдів обертання: однопорожнинний, віссю обертання якого є вісь аплікат (що є уявною віссю гіперболи, обертанням якої утворена ця поверхня), він задається рівнянням ; і двопорожнинний, віссю обертання якого є вісь аплікат (що є дійсною віссю гіперболи, обертанням якої утворена ця поверхня), він задається рівнянням .

5.1. Однопорожнинний гіперболоїд

О днопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням

. (10)

Рівняння (10) називається канонічним рівнянням однопорожнинного гіперболоїда.

Досліджують рівняння (10), як і в попередньому пункті, методом паралельних перерізів. Перетинаючи однопорожнинний гіперболоїд площинами, паралельними площині Оху, дістанемо в перерізі еліпси. Якщо поверхню (10) перетинати площинами або , то в перерізі дістанемо гіперболи.

Детальний аналіз цих перерізів показує, що однопорожнинний гіперболоїд має форму нескінченної трубки, яка необмежено розширюється в обидві боки від найменшого еліпса, по якому однопорожнинний гіперболоїд перетинає площину Оху (рис. 10).

Приклад. 10. Знайти лінію перетину однопорожнинного гіперболоїда з площинами: 1) Oxz; 2) Оху; 3) .

 1) Лінією перетину площини Oxz з даним гіперболоїдом є гіпербола

, , або , ;

2) лінією перетину площини Oxу з даним гіперболоїдом є еліпс

, , або , ;

3) лінією перетину площини з даним гіперболоїдом є гіпербола

, , або , . 

5.2. Двопорожнинний гіперболоїд

Двопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням

. (11)

Р івняння (11) називається канонічним рівнянням двопорожнинного гіперболоїда.

Метод паралельних перерізів дає змогу зобразити двопорожнинний гіперболоїд як поверхню, що складається з двох окремих порожнин (звідси назва двопорожнинний), кожна з яких перетинає вісь Оz і має форму опуклої нескінченої чаші (рис. 11).

Приклад. 11. Скласти рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням гіперболи , навколо осі абсцис, і визначити вид поверхні.  Підставивши в рівнянні гіперболи замість у вираз маємо , або . Це рівняння двопорожнинного гіперболоїда, який перетинає вісь Ох в точках і (рис. 12). 

6. Параболоїд

П араболоїд обертання, віссю обертання якого є вісь аплікат, задається рівнянням

.

Можна виділити два види параболоїдів обертання: еліптичний параболоїд та гіперболічний параболоїд, які задаються відповідно рівняннями

і ,

причому , . Ці рівняння називаються загальними рівняннями вказаних поверхонь.

6.1. Еліптичний параболоїд

Еліптичним параболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням

, (12)

щ о є канонічним рівнянням еліптичного параболоїда. Він має форму нескінченної опуклої чаші (рис. 12.13). Лініями паралельних перерізів еліптичного параболоїда є параболи або еліпси.

Приклад. 12. Знайти точку перетину еліптичного параболоїда з прямою .

 Запишемо параметричні рівняння даної прямої:

, , .

Підставимо вирази для х, у, z в рівняння параболоїда і знайдемо ті значення параметра, які відповідають точкам перетину:

; ; , .

Підставляючи знайдені значення параметра в параметричні рівняння прямої, знайдемо точки перетину: і . 