3. Спецвопрос

! В данной главе студенты представляют решение четырех задач по своему варианту.

Пример 1. Предприятие решает вопрос о назначении цены на свой товар: 40 руб. или 50 руб. При установлении цены 40 руб. возможны следующие варианты выручки:

1) 40000 руб. с вероятностью 0,2;

2) 35000 руб. с вероятностью 0,3;

3) 30000 руб. с вероятностью 0,5.

При цене 50 руб. возможны следующие варианты выручки:

1) 36000 руб. с вероятностью 0,1;

2) 33000 руб. с вероятностью 0,5;

3) 31000 руб. с вероятностью 0,4.

Какую цену следует назначить предприятию на свой товар и какова ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения?

Решение: В узле А возможны следующие варианты выручки от продаж:

ОСО(А) = 40000*0,2 +35000*0,3+30000*0,5= 33500 руб.

В узле В возможны следующие варианты выручки от продаж:

ОСО(В) = 36000*0,1+33000*0,5+31000*0,4= 32500 руб.

В узле 1 мы выбираем между решением «назначить цену 40 руб.» и решением «назначить цену 50 руб.»:

ОСО(1) = max{ОСО(А); ОСО(В)}= max{33500; 32500}=33500 руб.

Ожидаемая стоимостная оценка наилучшего варианта равна 33500 руб. Предприятию следует назначить цену 40 руб.

Пример 2. Главному инженеру компании необходимо решить вопрос о монтировании новой производственной линии, использующей новейшую технологию. Если новая линия будет работать безотказно, то компания получит прибыль 200 млн. руб., в противном случае она может потерять 150 млн. руб. По оценкам главного инженера с вероятностью 0,6 новая производственная линия откажет. Сначала можно создать экспериментальную установку, которая обойдется в 10 млн. руб., а затем решать монтировать или нет новую линию. Главный инженер считает, что с вероятностью 0,5 экспериментальная установка будет работать. Если экспериментальная установка будет работать, то с вероятностью 0,9 смонтированная производственная линия тоже будет работать. Если же экспериментальная установка не будет работать, то вероятность работы производственной линии составляет 0,2. Следует ли строить экспериментальную установку? Следует ли монтировать новую производственную линию? Какова ожидаемая стоимостная оценка (ОСО) наилучшего решения?

Решение: В узле F возможны исходы «линия работает» с вероятностью 0,4 (это принесет прибыль 200 млн. руб.) и «линия не работает» с вероятностью 0,6 (это принесет убыток 150 млн. руб.). Следовательно,

ОСО(F) = 0,4*200 + 0,6*(-150) = -10.

Это число пишется над узлом F.

ОСО(G) = 0.

В узле 4 мы выбираем между решением «монтируем линию» (оценка этого решения ОСО(F) = -10) и решением «не монтируем линию» (оценка этого решения ОСО(G) =0). Максимальное значение в узле 4 равно 0. Эту оценку пишем над узлом 4, а решение «монтируем линию» отбрасываем.

Аналогично проводим оценку по остальным ветвям:

ОСО(B) = 0,9*200+0,1*(-150) = 165;

ОСО(C) = 0;

ОСО(2) = max {OCO(B), OCO(C)} = max {165;0} = 165,

поэтому в узле 2 отбрасываем возможное решение «не монтируем линию».

ОСО(D) = 0,2*200+0,8*(-150) = -80;

ОСО(Е) = 0;

ОСО(3) = max {OCO(D), OCO(E)} = max {-80;0} = 0,

поэтому в узле 3 отбрасываем возможное решение «монтируем линию».

ОСО(А) = 0,5*165+0,5*0-10 = 72,5;

ОСО(1) = max {OCO(А), OCO(4)} = max {72,5;0} =72,5.

поэтому в узле 1 отбрасываем возможное решение «не строим установку».

Ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения равна 72,5 млн. руб. Строим установку. Если установка работает, то монтируем линию. Если установка не работает, то линию монтировать не надо.

Пример 3. Предприятие производит два вида продукции А₁ и А₂ используя сырьё трёх видов: S₁, S₂, S₃. Нормы расхода сырья каждого вида, прибыль на единицу продукции, а также запасы приведены в таблице.

Математическая модель данной задачи примет вид:

при ограничениях:

(1) (2) (3) (4)

где Х₁, Х₂ – количество единиц продукции вида А₁ и А₂.

Вид сырья	Нормы расхода сырья на единицу продукции		Наличие сырья
	А1	А2
S1	1	1	5
S2	2	1	9
S3	1	2	7
Прибыль от реализации единицы продукции	3	4

Число переменных равно двум, поэтому для решения задачи можно воспользоваться графическим методом. Изобразим условия производственной задачи на координатной плоскости.

Определяем область допустимых решений из неравенства (1) . Это область ALM (рис. 11).

Р и с. 11

Р и с. 12

Прямая LM пересекает ось Х₂ в точке L(0;5). Это означает, что если все сырье S₁ будет пущено на изготовление продукта А₂, то будет изготовлено 5 единиц данного продукта. Та же прямая пересекает ось Х₁ в точке M(5;0) , то есть, если всё сырьё S₁ пустить на изготовление продукта А₁, то будет изготовлено также 5 единиц данного продукта. Для всех точек внутри треугольника ALM выполняется неравенство (1), что означает, что часть сырья будет оставаться.

Аналогичным образом можно изобразить ограничения по сырью S₂ и S₃. Для неравенства (2) область допустимых значений – AGE (рис. 12).

Для двух неравенств область допустимых решений - ALDE.

Из третьего неравенства область допустимых значений – ABF (рис. 13). Из трех неравенств и с учетом того, что область допустимых значений составляет ABCDE. Затем на этой области наносим целевую функцию – это прямая с нормальным вектором (рис. 4). Основная идея линейного программирования состоит в том, что максимум достигается в вершинах многоугольника.

Р и с. 13

Перемещая прямую F(X) = 0 по направлению вектора до тех пор, пока она не сместится в область недопустимых решений, получим значение целевой функции в точках A, B, C, D, E:

A : F(0;0) = 0; B : F(0;3,5) = 14; C : F(3;2) = 17;

D : F(4;1) = 16; E : F(4,5;0) = 13,5.

Отсюда видно, что оптимальное решение находится в точке С:

изготавливается 3 единицы продукции А₁, и 2 единицы продукции А₂, прибыль от реализации составит 17 условных единиц.

Задание 1

Предприниматель провел анализ, связанный с открытием магазина. Если он откроет большой магазин, то при благоприятном состоянии рынка получит прибыль h млн. руб., при неблагоприятном понесет убытки – k млн. руб. Маленький магазин принесет ему a млн. руб. прибыли при благоприятном состоянии рынка и b млн. убытков при неблагоприятном. Возможность благоприятного и неблагоприятного состояния рынка он оценивает одинаково. Исследование рынка может провести специалист и это обойдется предпринимателю в c млн. руб. Специалист считает, что с вероятностью d состояние рынка окажется благоприятным. В то же время при положительном заключении состояние рынка окажется благоприятным лишь с вероятностью e. При отрицательном заключении состояние рынка может оказаться благоприятным с вероятностью f. Какое решение следует принять предпринимателю? Следует ли заказать проведение обследования состояния рынка? Какова ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения?

Вариант	h	k	a	b	c	d	e	f
1	190	60	50	15	7	0,73	0,83	0,14
2	180	70	70	18	8	0,75	0,85	0,24
3	170	40	80	19	5	0,85	0,95	0,15
4	160	50	70	17	6	0,82	0,84	0,13
5	195	60	60	16	7	0,88	0,87	0,18
6	140	70	50	14	8	0,79	0,86	0,21
7	185	75	80	21	8	0,91	0,88	0,11
8	175	45	85	22	5	0,83	0,92	0,19
9	150	60	55	12	7	0,85	0,82	0,21
10	120	75	70	23	8	0,93	0,94	0,22

Задание 2

Компания рассматривает вопрос о строительстве завода. Возможны три варианта действий.

А. Построить большой завод стоимостью M₁ у.е. При этом варианте возможны с вероятностью p₁ большой спрос (годовой доход R₁ у.е. в течение первых пяти лет) и с вероятность p₂ низкий спрос (ежегодные убытки R₂ у.е.).

В. Построить маленький завод стоимостью M₂ у.е. При этом варианте возможны с вероятностью p₁ большой спрос (годовой доход T₁ у.е. в течение первых пяти лет) и с вероятность p₂ низкий спрос (ежегодные убытки T₂ у.е.).

С. Отложить строительство завода на один год для сбора дополнительной информации, которая может быть положительной или отрицательной с вероятностью p₃ и p₄ соответственно. В случае положительной информации можно построить заводы по указанным выше расценкам, а вероятности большого и низкого спроса составят p₅ и p₆ соответственно. Доходы на последующие четыре года остаются прежними. В случае отрицательной информации от строительства заводов следует отказаться. Все расчеты выражены в текущих ценах и не должны дисконтироваться.

Какова ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения?

Вариант	M1	M2	p1	p2	p3	p4	p5	p6	R1	R2	T1	T2
1	600	350	0,7	0,3	0,8	0,2	0,9	0,1	250	50	150	25
2	605	345	0,65	0,35	0,75	0,25	0,91	0,09	245	45	145	20
3	610	340	0,75	0,25	0,85	0,15	0,92	0,08	240	40	140	15
4	615	335	0,7	0,3	0,85	0,15	0,93	0,07	235	35	135	10
5	620	330	0,65	0,35	0,8	0,2	0,94	0,06	230	30	130	5
6	625	325	0,75	0,25	0,75	0,25	0,95	0,05	255	55	155	30
7	630	320	0,7	0,3	0,75	0,25	0,94	0,06	260	60	160	35
8	635	315	0,65	0,35	0,85	0,15	0,93	0,07	265	65	165	40
9	640	310	0,75	0,25	0,8	0,2	0,92	0,08	270	70	170	45
10	645	305	0,7	0,3	0,75	0,25	0,91	0,09	275	75	175	50

Задание 3

Предприятие решает вопрос о назначении цены на свой товар: a руб. или b руб. При установлении цены a руб. возможны следующие варианты объема продаж: 1) c тыс. руб. с вероятностью p₁; 2) g тыс. руб. с вероятностью p₂; 3) h тыс. руб. с вероятностью p₃.

При цене b руб. возможны следующие варианты объема продаж: 1) k тыс. руб. с вероятностью p₁; 2) m тыс. руб. с вероятностью p₂;

3) n тыс. руб. с вероятностью p₃.

Какую цену следует назначить предприятию на свой товар? Какова ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения?

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	50	70	80	70	60	50	80	85	55	70
b	70	80	90	90	80	55	85	90	70	85
p1	0,3	0,25	0,15	0,2	0,25	0,3	0,15	0,5	0,45	0,4
p2	0,3	0,35	0,5	0,4	0,45	0,35	0,4	0,25	0,3	0,4
p3	0,4	0,4	0,35	0,4	0,3	0,35	0,45	0,25	0,25	0,2
c	70	80	50	60	70	80	85	55	70	85
g	80	90	70	80	90	85	90	70	85	90
h	90	100	80	90	95	90	95	75	90	100
k	60	70	40	50	60	70	75	45	60	75
m	70	80	60	70	80	75	80	60	75	80
n	80	90	70	80	85	80	85	85	80	90

Задание 4

Предприятие производит два вида продукции X и Y. 1 кг продукции Х приносит прибыль a руб., для своего изготовления требует b кг ресурса A и c кг ресурса B. 1 кг продукции Y приносит прибыль d руб., для своего изготовления требует e кг ресурса A и f кг ресурса B. Суммарный запас ресурса А составляет g кг, ресурса В – h кг. При каком объеме производства прибыль будет максимальна?

Задачу решить графическим методом.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	9	5	7	2	1	4	3	7	3	1
b	3	5	7	4	8	6	7	4	2	4
c	4	4	3	8	3	2	4	6	1	2
d	3	3	2	2	4	8	6	1	7	5
e	3	1	5	9	5	8	7	8	9	5
f	1	8	7	4	2	9	7	8	2	5
g	100	90	200	50	90	80	80	60	90	200
h	80	80	50	200	90	90	100	80	70	90

ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ

При оформлении текста курсовой работы следует руководствоваться ГОСТ 7.32-91. Текст курсовой работы выполняется с применением печатающих и графических устройств персональных компьютеров на формате бумаги А-4 через 1,5 межстрочный интервал, шрифт 14, Times New Roman.

Текст следует размещать на одной стороне листа бумаги. Абзацы в тексте курсовой работы начинают отступом в 1,27 мм.

Листы курсовой работы должны иметь следующие размеры полей (не менее): левое – 25 мм, правое – 15 мм, верхнее – 15 мм, нижнее – 20 мм. Страницы нумеруются арабскими цифрами в правом верхнем углу, (номер страницы проставляется на расстояниях около 10 мм от верхней и правой кромок страницы). При этом соблюдается сквозная нумерация по всему тексту. Титульный лист включается в общую нумерацию страниц текста. Номер страницы на титульном листе не проставляется.

Таблицы представляют собой форму организации материала, позволяющую систематизировать и сократить текст, обеспечить обозримость и наглядность информации.

Таблицы нумеруются арабскими цифрами в пределах всего текста. Слово «Таблица» и ее порядковый номер помещают в правом верхнем углу над названием таблицы. Над продолжением или окончанием таблицы пишут: «Продолжение табл.2»; «Окончание табл.2».

Иллюстрации обозначают словом «Рис.» и нумеруют арабскими цифрами в пределах всего текста. Слово «Рис.», порядковый номер иллюстрации и ее название помещают под иллюстрацией. Иллюстрации располагают непосредственно после текста, в котором они упоминаются впервые, или на следующей странице. На все иллюстрации в тексте должны быть ссылки.

Введение, главы одной части, заключение, библиографический список, приложения должны начинаться с новой страницы и иметь заголовки, напечатанные (написанные) прописными буквами.