2.7. Гармонический анализ токов. Расчет у-параметров транзистора в режиме большого сигнала

Рассмотрим гармонические составляющие токов коллектора и базы при воздействии на входе транзистора гармонического напря­жения большой амплитуды (2.45). В кусочно-линейной модели (см. рис. 2.13) токи i_к.г(τ) и i_б.т(τ) связаны линейными соотношени­ями (2.39) и (2.40) с напряжением на переходе в активной области (e_п- Е' )_{0 .} Покажем, что в этом случае для расчета гармоник токов достаточно знать гармонический состав напряжения на переходе.

Пусть зависимость (е_п - Е')₀ представлена рядом Фурье:

(2.52)

причем комплексные амплитуды гармоник уже найдены.

Тогда, подставляя (2.52) в (2.39) и (2.40), получаем

Откуда

; (2.53)

(2.54)

Согласно (2.53) и (2.54) каждая из гармоник токов и свя­зана с гармоникой напряжения U °_Пn линейным коэффициентом пере­дачи, причем если последний зависит от частоты, то его значение определяется на частоте n-й гармоники, т.е. nω.

Зная аналитические выражения для импульсов напряжения е_п(τ), можно строго решить задачу их гармонического анализа. Однако получающиеся при этом комплексные коэффициенты разложения зависят от трех параметров: cos Θ_Н, ωτ_sи ωτ_э, что затрудняет их прак­тическое использование. Поэтому для инженерных расчетов импульсы аппроксимируют отрезками косинусоидальных функций с углом отсечки Θ, который принято называть высокочастотным [1—3, 12]. Заметим, что Θ≠Θ_Н, однако при расчете гармонических состав­ляющих аппроксимированных импульсов можно использовать обыч­ные коэффициенты разложения , n = 0, 1,2, что упрощает исследование.

Аппроксимируем импульс (е_п-Е')₀ в активной области (рис. 2.16) так, чтобы амплитуда его косинусоидальной образующей равнялась амплитуде вынужденной составляющей , а положение и высота максимума совпадали с точными значениями, найденными из (2.50) (см. рис. 2.15). Этим усло­виям удовлетворяет импульс

; (2.55)

высотой

(2.56)

Приравнивая (2.56) точному значению (е_п - Е')_м из (2.50), полу­чаем формулу для определения угла отсечки как функции Θ_Н и ωτ_s:

. (2.57)

Результаты расчета зависимостей Θ (Θ_Н, ωτ_s) показаны на рис. 2.17.

Итак, аппроксимирующий импульс (2.55) имеет форму усеченной косинусоиды, запаздывающей относительно внешнего воздействия е_бэ(τ) на угол τ_м. Это означает, что амплитуды гармонических

составляющих импульса определяются коэффициентами разложе­ния γ(Θ), а фазы гармоник , т.е.

(2.58)

(2.59)

Напомним, что зависимости τ_м(Θ, ωτ_s) даны на рис. 2.15. Подста­вив (2.58), (2.59) в (2.53), (2.54), сразу найдем гармоники токов кол­лектора и базы. В частности, для постоянных составляющих

; (2.60)

, (2.61)

где S = K_пS_п; S_б = K_П/r_β — крутизна статических характеристик i_к.(е_б.э), i_б(е_б.э). Как видим, отношение постоянных составляющих токов не зависит от частоты I_k0/I _k0 = S/S₆ = h_21э.

Выражение (2.59) для первой гармоники напряжения (е_п - Е')₀ удобно записать иначе:

(2.62)

Здесь введен коэффициент передачи по напряжению = К_п/(1 +j(ωτ_s), а для компенсации его фазового угла соответствующая поправка внесена в фазу комплекс­ного коэффициента разложения

(2.63)

С учетом (2.62), (2.63) для первых гармоник токов имеем

(2.64)

где

(2.65)

— комплексная крутизна соответственно коллекторного и базового тока открытого транзистора.

Сравнение с точным гармоническим анализом показывает, что относительная погрешность аппроксимации реального импульса симметричным косинусоидальным растет с уменьшением Θ и увели­чением ωτ_s, однако для п = 0,1 при Θ > 30° погрешность не превы­шает 20 % как по модулю, так и по фазе при любой частоте. Для n = 2,…,4 аппроксимация дает погрешность менее 20% в области максимума зависимостей γ_n(Θ), т.е. при Θ≈189/n. В то же время для

оценки максимальных значений амплитуд гармоник при п ≥ 2 приня­тая аппроксимация неприменима, поскольку реальный импульс несимметричен и его синусоидальная и косинусоидальная составля­ющие никогда одновременно не обращаются в нуль (см. рис. 2.14).

До сих пор при расчете временных зависимостей и гармониче­ском анализе напряжения (е_п - Е') и токов i_к(τ), i_б(τ) не учитывались

емкости С_к.а и С_к.п нелинейной модели транзистора (см. рис. 2.13). Их влияние может быть существенным на достаточно высоких часто-

тах. Покажем, как решается задача с учетом этих емкостей в случае, когда выходная цепь каскада настроена на первую гармонику, т.е. согласно (2.45)

При составлении уравнения для напряжения на эмиттерном пере­ходе е_п(τ), как и ранее, можно исходить из уравнения (2.37). В его правую часть входит напряжение, которое назовем управляющим, е_у = е_б.э + τ _к(de_к.г/dt). Аналогичную замену при U_к.г ≠ 0 следует выполнить в правой части операторного уравнения (2.47).

Управляющее напряжение, так же как е_б.э и е_к.э, является суммой напряжения смещения и гармонического напряжения:

, (2.66)

где U_у , φ_у — модуль и фаза комплексной амплитуды,

(2.67)

Выберем начало отсчета времени так, чтобы фаза φ _у равнялась нулю, и подставим (2.66) в правую часть (2.47). Заменив в левой части оператор р на d/dt, получим дифференциальное уравнение для е_п(τ):

(2.68)

.

Это уравнение отличается от (2.48) только правой частью, в кото­рой амплитуда U_6.э заменена на U_y , а низкочастотный угол отсечки определяется соотношением

(2.69)

Отсюда вытекает, что рассмотренные в § 2.6 временные зависи­мости напряжения е_п(τ) и токов транзистора i_к(τ), i_б(τ), а также результаты гармонического анализа (с учетом указанной замены) остаются в силе. В частности, при вычислении гармонических составляющих токов нужно в (2.64) заменить U_б.э на U_у и учесть в соответствии с (2.34), (2.35) ток смещения через коллекторную емкость (С_к = С_к.а + С_к.п). В результате получаем

Заменив здесь по (2.67) и сгруппировав члены при комплек­сных амплитудах , запишем через усредненные по первой гармонике Y-параметры транзистора:

(2.70)

где

(2.71)

Уравнения (2.70) не являются линейными, так как Θ зависит от амп­литуды U_y и напряжения смещения Е_с. Это следует иметь в виду как при расчете, так и при экспериментальном определении Y-параметров.