5. Эллипс искажений

Для того, чтобы наглядно представить себе характер искажений в разных частях карты, часто пользуются, так называемым эллипсом искажений.

Если взять на глобусе окружность бесконечно-малого размера, то при переходе на карту из-за растяжений или сжатий эта окружность исказится подобно очертаниям географических объектов и примет форму эллипса (рис. 8). Этот эллипс называют эллипсом искажений или индикатриссой Тиссо.

Рисунок 8

Эллипс искажений на картах не изображается. Им пользуются в математической картографии для выяснения величины и характера искажений в какой-нибудь точке проекции.

Вид и размеры эллипса неодинаковы в разных проекциях и даже в разных точках одной и той же проекции.

Направления осей эллипса могут совпадать с меридианами и параллелями, а в некоторых случаях оси эллипса могут занимать относительно меридианов и параллелей произвольное положение.

Две окружности, взятые на шаре (см. рис. 8), после растяжения полосок, на проекции изобразились эллипсами.

х х′

А А′

х

у у′

Рисунок 9

Докажем это следующим образом. Возьмем на земном эллипсоиде бесконечно алый кружок (рис. 9). Примем меридиан за ось х, а параллель за ось у. Предположим, что оси Ох и Оу совпадут с меридианом и параллелью.

Уравнение круга будет:

х² + у² = r² (2)

При переходе на плоскость координаты кружка х и у искажаются и будут равны х′ и у′.

Обозначим масштабы по осям на плоскости для оси х′ через m, а для оси у′ через n. Тогда координаты на плоскости будут раны

х′ = mх (3)

у′ = nу (4)

Отсюда

х = х′ / m (5)

у = у′ / n (6)

Значения х и у подставим в уравнение круга (1)

( х′ / m)² + (у′ / n) ² = r² (7)

Разделим все члены этого равенства на r² .

( х′ / m r)² + (у′ / n r) ² = 1 (8)

Уравнение (8) показывает, что круг, взятый на эллипсоиде изображается на плоскости в виде эллипса.

Если за оси координат круга взять взаимно перпендикулярные диаметры, совпадающие с главными направлениями, то в изображении на плоскости получим эллипс, отнесенным к его осям.

Тогда уравнение (8) примет следующий вид.

( х′² / а²) + (у′² / в²) ² = 1 (9)

где а = mr, в = nr (10)

При r = 1, а = m и в = n, величина полуосей эллипса будет равняться масштабам линий по главным направлениям.

Для разных проекций форма и размеры эллипса будут различны. Искажения форм будут тем больше, чем больше оси эллипса будут отличаться друг от друга, т.е. чем больше будут отличаться масштабы по главным направлениям.

В качестве меры искажения форм принимают коэффициент k.

k = а/в (11)

где а и в – наибольший и наименьший масштабы в данной точке.

Пусть, например, наибольший масштаб в данной точке а =2, а наименьший в = 0,5, тогда коэффициент искажения будет равен

k = 2/0,5 = 4

Изображение на карте будет вытянуто по сравнению с истинным очертанием в 4 раза.

Для определения искажений в пределах карты можно пользоваться специальными таблицами или схемами изокол.

Изоколами называются линии, соединяющие на карте точки с одинаковыми искажениями. Изоколы могут быть для углов, площадей, длин или форм.