6. Искажения углов

Возьмем на поверхности глобуса угол u (рис. 10), который на карте изобразиться углом u′.

Каждая сторона угла на глобусе образует с меридианом угол α, который называется азимутом. На карте этот азимут изобразится углом α′.

Для простоты рассуждений азимуты линий 0В и 0′ В′ на рисунке не показаны.

В картографии приняты два вида угловых искажений: искажения направления и искажения углов.

А А′

α α′

0 u 0′ u′

В В′

Рисунок 10

Разность между азимутом стороны угла на карте α′ и азимутом стороны угла на глобусе называется искажением направления, т.е.

ω = α′ - α (12)

Разность между величиной угла u′ на карте и величиной u на глобусе называется искажением угла, т.е.

2ω = u′ - u (13)

Искажение угла выражается величиной 2ω потому, что угол состоит из двух направлений, каждое из которых имеет искажение ω.

Пример. u′ = 60⁰ (на карте)

u = 52⁰ (на глобусе)

тогда 2ω = 60⁰ – 52⁰ = 4⁰

7. Искажение площадей

Возьмем на глобусе квадрат, который на карте, в общем случае, изобразится параллелограммом. Обозначим стороны квадрата через а, а стороны параллелограмма через а₁ и а₂.

90⁰

а а₂

а а₁

Рисунок 11

Прямой угол квадрата изобразится на карте углом Q. Искажение площади выразим через частный масштаб Р, а относительное искажение площади через

Р–1.

Масштаб площади равен отношению площади параллелограмма к площади квадрата, т.е. площади фигуры на карте к площади этой же фигуры на глобусе.

Р = Рпар. / Ркв. = (а₁ а₂ sin Q) / а² (14)

но

а₁ = а μ₁ (15)

а₂ = а μ₂ (16)

где μ₁ и μ₂ - частные масштабы карты. После подстановки в равенство (14) получим

Р = (а² μ₁ μ₂ sin Q) / а² (17)

а сократив выражение на а² будем иметь

Р = μ₁ μ₂ sin Q (18)

Если принять равными

μ₁ = m (масштаб по оси х) (19)

μ₂ = m (масштаб по оси у) (20)

тогда формула (18) будет иметь такой вид

Р = m n sin Q (21)

Проекции, в которых отсутствуют искажения площадей, называются равновеликими.

Пусть, например, частный масштаб площади Р = 2,50, тогда относительное искажение площади будет равно 2,50 – 1 = 1,50, что составляет 150%.

Масштабы площадей на картах не подписываются и их приходится вычислять при выполнении картографических работ по числовым масштабам длин.

При создании физико-географических и социально-экономических карт, бывает необходимо сохранить верное соотношение площадей. В таких случаях выгодно применять равновеликие и произвольные (равнопромежуточные) проекции.

В равнопромежуточных проекциях искажения площади в 2-3 раза меньше, чем в равноугольных.

Для политических карт мира желательно сохранить правильность соотношения площадей отдельных государств, не исказив внешний контур государства. В этом случае выгодно применять равнопромежуточную проекцию.

Проекция Меркатора для таких карт не подходит, так как в ней сильно искажаются площади.