8. Классификация проекций по характеру искажений

Главная задача математической картографии состоит в том, чтобы изобразить сферическую поверхность Земли с наименьшими искажениями. Над решением этой задачи ученые работают много веков.

Картографические проекции принято классифицировать по двум независящим друг от друга признакам:

1. По характеру искажений;

2. По виду меридианов и параллелей (способу построения).

При переходе от сферической поверхности Земли к проекции (карте) происходят искажения площадей, углов, форм и длин.

Если построить проекции, свободные от искажения углов, то будут сильно искажены площади. Если построить проекции, свободные от искажения площадей, то будут сильно искажены углы и формы.

На географических картах невозможно сохранить формы очертания материков, океанов, морей, островов и т.п. Они всегда искажены.

От искажения длин можно избавиться частично, построив сетку, в которой масштаб будет сохраняться по каким-нибудь линиям, например, по меридианам, или по всем прямым, идущим от центра карты.

По всем линиям на карте сохранить один и тот же масштаб нельзя.

По характеру искажений проекции делятся на три группы:

1. равноугольные или конформные;

2. равновеликие или эквивалентные;

3. произвольные.

Рассмотрим каждую из них в отдельности.

1.Равноугольными или конформными проекциями называют такие, которые не искажают углов, но искажают площади и линии.

Условие равноугольности выражается следующими данными:

а = в = m = n = μ – масштабы длин в данной точке равны по всем направлениям;

ω = 0 – угловых искажений нет;

Р = μ² – масштаб площади равен произведению масштабов по главным направлениям, но так как они равны, то масштаб площади равен квадрату масштаба длин.

В этой проекции сохраняется подобие бесконечно малых фигур.

Элементарный кружок эллипсоида изобразится кружком, но отличным по площади при переходе из точки в точку (рис. 12).

Название равноугольные происходит от того, что в подобных фигурах, соответственные углы длин равны между собой.

Рисунок 12

На этом рисунке показаны искажения в равноугольной проекции. Главный масштаб сохраняется на параллели в 50⁰. На этой параллели кружки на проекции по своей площади равны кружкам на проекции по своей площади равны кружкам на эллипсоиде.

Из рисунка видно, что при удалении кружков от параллели в 50⁰, т.е. от главного масштаба, искажения длин и площадей увеличиваются и площади кружков становятся больше.

В этой проекции составляются карты, по которым нужно измерять углы, например, в метеорологии направление ветра, в мореплавании курс корабля (проекция Меркатора).

2. Равновеликими или эквивалентными (равноплощадными) проекциями называют такие, которые сохраняют постоянной величину отношения площадей на проекции к соответствующим площадям на эллипсоиде.

В этих проекциях площади карты пропорциональны соответствующим площадям изображаемой поверхности.

Условие равновеликости определяется формулой:

Р = m n = const (22)

т.е. масштаб площадей постоянен.

Любой бесконечно малый кружок, взятый на эллипсоиде, изобразится на проекции эллипсом, но площадь его, как правило, будет равна площади кружка эллипсоида (рис. 13).

Рисунок 13

Таким образом, в равновеликих проекциях площади не искажаются и масштаб площади остается постоянным во всех частях карты.

Из рисунка 13 видно, что при переходе от параллели к параллели, формы эллипса меняются. При этом соблюдается строгая закономерность в том, что во сколько раз одна ось эллипса будет больше радиуса окружности, расположенной на линии нулевых искажений, во столько раз другая ось будет меньше его.

С удалением от линии нулевых искажений непрерывно возрастают искажения длин. Вместе с эти очень сильно искажаются формы, так как эллипсы по одному из главных направлений растягиваются, а по другому – сжимаются.

Масштаб длин меняется в зависимости от направления и при переходе от точки к точке, но среднее значение масштабов для всех точек остается одинаковым.

В этой проекции удобно составлять карты природных зон, это позволит сравнивать между собой площади отдельных зон.

Эта проекция весьма удобна и тем, что по картам, составленным в этой проекции, площади контуров можно измерять планиметром, таким же способом, как и по планам.

3. Произвольные, которые искажают углы и площади.

Среди произвольных проекций наиболее распространены равнопромежуточные (эквидистантные), у которых масштаб по одному из направлений, например, по меридианам или параллелям остается постоянным и равным главному. Примером такой проекции может служить рассмотренная выше квадратная проекция (см рис. 8).

По характеру искажений произвольные проекции лежат между равноугольными и равновеликими (рис. 14).

Рисунок 14

В этих проекциях кружки, взятые на эллипсоиде, изобразятся на проекции в разных местах эллипсами различной формы и различной площади.

Искажения углов, линий и площадей разное, в зависимости от принятого условия для данной проекции.