1.4 Оценивание периода сигнала в условиях априорной неопределенности

Рассмотрим задачу оценивания периода сигнала, наблюдаемого на фоне гауссова шума в условиях априорной неопределенности, в которой на основе статистики времен пересечения заданного уровня процессом, представляющим собой аддитивную смесь сигнала и стационарного гауссовского шума, получены эффективные оценки периода сигнала. Для преодоления априорной неопределенности мощности шума, амплитуды, начальной фазы, крутизны фронтов и скважности сигнала при получении оценки использовались полные достаточные статистики.

Пусть наблюдаемый процесс x(t) представляет, собой аддитивную смесь сигнала U_ms(t) и дифференцируемого стационарного гауссовского шума η(f), т.е.

x(t)= U_m s(t)+ η(f),

где U_m — амплитуда сигнала,

s(t) - нормированный по энергии сигнал.

Шум η(f) характеризуется дисперсией σ² и нормированной корреляционной функцией r(t). Соотношение энергетических параметров сигнала и шума будем характеризовать, как и в работе [10], отношением сигнал/шум q = U_m/σ. Обозначим через Т период, v- скважность сигнала, тогда s(t + Т) = s(t), длительности импульсов сигнала, определяемые как интервалы времени между соседними пересечениями некоторого наперед заданного уровня Н передними и задними фронтами сигнала, равны τ_и = T/v. Пусть передние фронты импульсов сигнала s(t) пересекают уровень Н в моменты времени задние фронты - в моменты времени тогда при больших отношениях сигнал/шум q » 1 процесс x(f) будет пересекать уровень Н в моменты времени малые случайные добавки, обусловленные действием шума η(f). В качестве исходных данных для синтеза оценки периода Т примем статистики

(1.3)

Полное статистическое описание исходных данных дает совместная плотность вероятности статистик г⁺ и г^-. Для ее нахождения воспользуемся результатами, приведенными в работе [11].

Предположим, что отношение сигнал/шум настолько велико, что с вероятностью, близкой к единице, пересечение уровня Н будет происходить в неперекрывающихся окрестностях точек в этих окрестностях справедливо линейное приближение при разложении функций s(t) и η(f) в ряд Тейлора. Тогда одномерные плотности вероятности времен пересечения уровня Н можно записать следующим образом [11]:

(1.4)

Здесь и - значения крутизны переднего и заднего фронтов сигнала в соответствующие моменты времени, интеграл вероятностей, - дисперсия производной процесса η(f), γ(о) - значение второй производной нормированной корреляционной функции r(t) при t = 0. Если вероятности ложного пересечения уровня Н (сверху вниз на интервале и снизу вверх на интервале малы, т.е. если [11]

Где w₀(t) = (1/2πσ²)^1/2exp{-t²/(2σ²)}

Если при этом выполняются условия [11]

где t_σi = , для переднего и t_σi = , - для заднего фронта сигнала.

Здесь

Будем полагать, что интервал корреляции τ_к процесса η(t) удовлетворяет условию

(1.5)

В этом случае процессы в пределах интервалов и ,

i=o,.. .,n, передних и задних фронтов сигнала, на протяжении которых формируются статистики времен пересечения наблюдаемым процессом уровня Я, будут статистически независимыми. Требование (1.1) не является обременительным и обычно выполняется при выполнении условий (1.1) и (1.2). Применительно к задаче измерения периода синусоидального сигнала оно будет рассмотрено ниже.

Из выражений (1.3) и (1.4) с учетом (1.5) получим совместную плотность вероятности выборочных векторов t⁺ и t^-:

Плотность вероятности (3.16) дает полное статистическое описание исходных данных.

Синтез оценок периода Т проведем для двух вариантов, характеризующихся разным уровнем априорной неопределенности относительно неизмеряемых параметров сигнала и шума.

Вариант 1. Скважность v исходной последовательности импульсов известна, модули крутизны переднего и заднего фронтов совпадают, т.е. = Отношение сигнал/шум q, значения модуля крутизны фронта, начальная фаза сигнала (момент времени первого пересечения уровня Н) являются априорно неопределенными. Отметим также, что из равенства модулей крутизны переднего и заднего фронтов следует равенство параметров σ₊ и σ_, которые также являются априорно неопределенными. В этом случае плотность вероятности (1.7) можно записать следующим образом:

вероятности выборочных векторов t+ и t-:

Распределение (3.18) принадлежит экспоненциальному семейству с достаточной статистикой Y = {Y₁, У₂, Y₃} и параметром 0. При неизвестных , Т и σ₊ параметр 9 принимает значения из области (0, ∞) х (0, ∞) х (-∞, 0), т.е. содержит трехмерный интервал. Поэтому по теореме о полноте [5] статистика Yявляется полной. Пусть z -произвольная несмещенная оценка параметра Т, тогда эффективная (несмещенная с минимальной дисперсией) оценка параметра Т задается выражением

(1.9)

и эта оценка существенно единственна [12]. В выражении (1.9) Е( | Y) - символ условного математического ожидания.

Таким образом, из выражения (1.9) следует, что искомая эффективная оценка измеримой функцией полной достаточной статистики Y, т.е. Несмещенную оценку z обычно находят эвристически исходя из физического смысла задачи. Если несмещенную оценку z удается подобрать таким образом, чтобы она зависела от исходных данных t⁺ и t^- только через Y (т.е. z = z(Y) - измеримая функция полной достаточной статистики Y), то необходимость вычисления условного математического ожидания в выражении (1.9) отпадает, так как исходя из свойств условного математического ожидания имеем

В качестве примера рассмотрим задачу оценивания периода Т синусоидального сигнала U_msin(2πt/Т + φ) с неизвестными амплитудой U_m и начальной фазой (φ, наблюдаемого на фоне стационарного дифференцируемого гауссовского шума ηt). Дисперсия шума, а также неизвестна. Наблюдаемый процесс

Производная нормированного сигнала s(t) = (2π/T)cos(2πt/T + φ) максимальна в моменты пересечения им нулевого уровня, поэтому принимаем Н = 0. При Н- 0 скважность v = 2,

Исходными данными для синтеза оценки периода являются статистики времен пересечения процессом x(t) нулевого уровня снизу вверх t⁺ = { ,..., } и сверху вниз t^- = { ,..., }. Если измеритель периода имеет прямоугольную полосу пропускания шириной F, а шум, действующий на его входе белый, то нормированная корреляционная функция процесса η(t) имеет вид [4]

r(t) = sin(2 Ft)\(2 Ft),

ее вторая производная при r = 0 (0) = -(2 F)²\3; дисперсия отсчетов производной процесса η(t) = . Поскольку процесс x(t) симметричен относительно нуля, то естественно принять

где т - некоторое фиксированное значение.

Из выражений (1.3) и (1.4) получаем

Учитывая, что значение последнего выражения находится в пределах между и 1 и что Ф(3) = 0.99865 ... = 1, получаем

Подставляя значение т = 37\(27cq) в выражение (1.5), получим Для измерителя с прямоугольной полосой пропускания это эквивалентно условию

Здесь ∆F₀ = 1/F - минимальная ширина полосы пропускания, обеспечивающая измерение периода Т. При больших отношениях сигнал/шум, расширение полосы пропускания ∆F, требуемое условием (1.3), оказывается несущественным и практически всегда выполняется. При выполнении условий (1.4) и (1.5) для совместной плотности вероятности исходной выборки справедлива аппроксимация (1.4), и эффективная оценка периода задается выражением (1.8), которое в случае синусоидального сигнала принимает вид

Дисперсия оценки

(1.9)

ее относительная среднеквадратическая погрешность

Сравним погрешность полученной оценки с реализованными в большинстве измерительных приборов традиционными оценками периода. Наиболее распространенной является оценка, основанная на измерении временного интервала между двумя соседними пересечениями нулевого уровня наблюдаемым процессом снизу вверх [13], т.е. в виде . Нетрудно показать, что

оценка несмещенная, и ее дисперсия, как это следует из формулы (1.5), равна . Относительная среднеквадратическая погрешность

Полученное значение о0 совпадает с приводимым в литературе (например, в работе [13]) выражением для погрешности, обусловленной действием шумов. Если оценка производится по n примыкающим друг к другу периодам процесса, то ее относительная среднеквадратическая погрешность будет уменьшена в п раз [13]. Если оценку периода производить не только по результатам пересечения нулевого уровня передним фронтом сигнала, но и использовать информацию, заключенную в статистике времен пересечения

нулевого уровня задним фронтом, т.е. принять

, то погрешность можно уменьшить еще в 2 раз. Таким образом, можно; считать, что для традиционной оценки по n+ 1 пересечениям нулевого уровня снизу вверх и n + 1 пересечениям сверху вниз относительная среднеквадратическая погрешность равна Она

раз больше погрешности предлагаемой оценки (20).

Положим

Можно показать, что E(z) = T (E(·) - символ математического ожидания),

т.е. z — несмещенная оценка периода Т. Учитывая, что z зависит от t⁺ и t^- только

через Y и является измеримой функцией полной достаточной статистики, полу-

чаем искомую единственную эффективную оценку параметра Т (обозначим ее

Т₁) в виде Т₁ — z. Выражая T₁ через исходные статистики t⁺ и t^-, получаем

Учитывая, что D( ) = D( ) = - символ дисперсии),

получим дисперсию оценки (12):

Из выражения (1.3) видно, что для получения минимальной дисперсии оценки параметра Т необходимо уровень Н выбирать таким образом, чтобы крутизна фронта сигнала при его пересечении была максимальной.

Вариант 2. Модули крутизны переднего и заднего фронтов совпадают, s( ) =- s( ) отсюда а⁺ = а^_, и являются априорно неопределенными. Априорно неопределенными также являются скважность v, начальная фаза (момент времени ) сигнала и отношение сигнал/шум. В этом случае плотность вероят¬ности (1.8) можно представить в следующем виде:

где

Плотность вероятности (14) принадлежит экспоненциальному семейству с достаточной статистикой Y = {Y₁, Y₂, Y₃, У₄} и параметром в. При неизвестных , v₁, Т и σ₊ параметр в принимает значения из области (О, ∞) х (0, ∞) х (-∞, 0) х (0, ∞), т.е. содержит четырехмерный интервал. Поэтому по теореме о полноте ста¬тистика Y является полной, и единственная эффективная оценка параметра Т по- прежнему задается формулами (1.6) или (1.7), в которых z - произвольная несмещенная оценка параметра Т, Y- {Y₁; Y₂, У₃, Y₄}. Положим z = 6[Y₂ - 0.5n(Y₁ + Y₄)]/[n(n + l)(n + 2)], Можно показать, что z - несмещенная оценка параметра Т. Учитывая, что и в этом случае z является измеримой функцией полной статистики У, получаем искомую единственную эффективную оценку параметра Т в виде Т₂ = z Выражая Т₂ через исходные статистики t⁺ и t^-, получим

Дисперсия оценки

Выражение (1.12) с учетом (1.13) можно записать в следующем виде:

Второе слагаемое в скобках выражения (1.10) характеризует увеличение дисперсии D(T₂) по сравнению с дисперсией D(T₁), обусловленное априорной неопределенностью скважности v исходной последовательности импульсов. При

Сравнение оптимальной и традиционной оценок можно также провести по необходимой длительности интервалов наблюдений, обеспечивающих одинаковую погрешность. Если объем выборки для оптимальной оценки обозначить 2n + 2 (по суммарной размерности векторов t⁺ и t^-), для традиционной

где [x] означает

взятие целой части числах. Так, при n = 10 n₀ = 15, и требуемый объем выборки для формирования традиционной оценки будет в 1.5 раза больше, чем для предлагаемой в данной работе.

Таким образом на основе статистики времен пересечения наблюдаемым процессом заданного уровня получены эффективные (т.е. несмещенные с минимальной дисперсией) оценки периода сигнала, наблюдаемого в смеси с аддитивным стационарным гауссовским шумом.

Полученные оценки охватывают случаи известной и неизвестной скважности сигнала. Структура оценок не зависит от неизвестных неизмеряемых параметров сигнала и шума.