Поняття про двофакторний дисперсійний аналіз

Припустимо, що в розглянутій задачі про якість різних (m) партій вироби виготовлялися на різних (l) верстатах і потрібно з'ясувати, чи є суттєві відмінності в якості виробів по кожному фактору: А - партія виробів, В - верстат. В результаті ми приходимо до задачі двофакторного дисперсійного аналізу.

Усі наявні дані представимо у вигляді табл. 5.4, в якій по рядках - рівні фактора А, по стовпцях - рівні чинника В, а у відповідних комірчинах таблиці знаходяться значення показника якості виробів

Двофакторна дисперсійна модель має вигляд:

, (5.14)

де - значення спостереження в осередку ij з номером k;

- загальна середня;

- ефект, обумовлений впливом i-го рівня фактора А;

- ефект, обумовлений впливом j-го рівня фактора В ;

- ефект, обумовлений взаємодією двох факторів, тобто відхилення від середнього за спостереженнями у клітинці ij від суми перших трьох доданків в моделі (5.14);

- збурення, обумовлене варіацією змінної в середині окремої комірки.

Таблиця 5.4

В А			…		…
			…		…
			…		…
	…	…	…	…	…	…
			…		…
	…	…	…	…	…	…
			…		…

Вважаємо, що має нормальний закон розподілу , а всі математичні сподівання дорівнюють нулю. Групові середні знаходяться за формулами:

по клітинці – (5.15)

по рядку – (5.16)

по стовпцю – (5.17)

Загальне середнє - (5.18)

Таблиця 5.5 – таблиця дисперсійного аналізу.

Можна показати, що перевірка нульових гіпотез про відсутність впливу на розглянуту змінну факторів А, В та їх взаємодії АВ здійснюється порівнянням відношень (для моделі I з фіксованими рівнями факторів) або відношень (для випадкової моделі ІІ) з відповідними табличними значеннями F- критерію Фішера-Снедекора. Для змішаної моделі III перевірка гіпотез щодо факторів із фіксованими рівнями проводиться так само, як у моделі II, а факторів із випадковими рівнями - як в моделі I.

Якщо n = 1, тобто при одному спостереженні в осередку, то не всі нульові гіпотези можуть бути перевірені, оскільки випадає компонента із загальної суми квадратів відхилень, а з нею і середній квадрат , бо в цьому випадку не може бути мови про взаємодію чинників.

Таблиця 5.5

Компоненти дисперсії	Сума квадратів	Число степенів вільності	Середні квадрати
Міжгрупова (фактор А)		m-1
Міжгрупова (фактор В)		l-1
Взаємодія (АВ)		(m-1)(l-1)
Залишкова		mln-ml
Загальна		mln-1

◄ Приклад 5.2. У табл. 5.6 наведені добові прирости (г) відібраних для дослідження 18 поросят в залежності від методу утримання поросят (фактор А) та якості їх годівлі (фактор В). Необхідно на рівні значущості

= 0,05 оцінити суттєвість (достовірність) впливу кожного фактора і їх взаємодії на добовий приріст ваги поросят.

Розв’язання. Маємо m = 3, l = 2, n = 3. Визначимо (в г) середні значення приросту ваги:

в осередках – за (5.15): ;

і аналогічно,

Таблиця 5.6

Кількість голів в групі (фактор А)	Вміст протеїну в кормі, г (фактор В)
Кількість голів в групі (фактор А)	В1=80	В2=100
А1 = 30	530, 540, 550	600, 620, 580
А2 = 100	490, 510, 520	550, 540, 560
А3 = 300	430, 420, 450	470, 460, 430

; по рядках – за (5.16):

і, аналогічно

по стовпцях - за (5.17):

і, аналогічно

Загальний середній приріст - за (5.18):

Всі середні значення приросту (г) відобразимо у табл. 5.7. З таблиці 5.7 випливає, що зі збільшенням кількості голів у групі середній добовий приріст поросят у середньому зменшується, а при збільшенні вмісту протеїну в кормі - в середньому збільшується. Але чи є ця тенденція достовірною або пояснюється випадковими причинами? Для відповіді на це питання за формулами табл. 5.5 обчислимо необхідні суми квадратів відхилень:

Середні квадрати знаходимо діленням отриманих сум на відповідну їм кількість степенів вільності m-1= 2, l-1 = 1; (m-1) (l -1) = 2; mln - ml = 18-6 = 12; mln-1 = 18-1 = 17.

Таблиця 5.7

Кількість голів у групі (фактор А)	Вміст протеїну в кормі, г (фактор В)

Результати зведемо в табл. 5.8.

Очевидно, дані фактори мають фіксовані рівні, тобто ми знаходимося в рамках моделі I. Тому для перевірки істотності впливу факторів А, В та їх взаємодії АВ необхідно знайти відношення:

і порівняти їх з табличними значеннями відповідно .

Таблиця 5.8

Компонента дисперсії	Суми квадратів	Число степенів вільності	Середні квадрати
Міжгрупова (фактор А) Міжгрупова (фактор В) Взаємодія (АВ)		2 1 2
Залишкова		12
Загальна		17

Оскільки і , то вплив методу утримання поросят (фактору А) та якості їх годівлі (фактора В) є істотним. В силу того що , взаємодія зазначених факторів незначна. ►

Зауваження. З точки зору техніки обчислень для знаходження сум квадратів доцільніше використовувати формули:

(5.19)

(5.20)

(5.21)

(5.22)

. (5.23)

Так, у розглянутому прикладі 5.2:

і за формулами (5.19) - (5.23):

При вирішенні реальних завдань методом дисперсійного аналізу використовуються статистичні програмні пакети.

Відхилення від основних передумов дисперсійного аналізу - нормальності розподілу досліджуваної змінної і рівності дисперсій в осередках (якщо воно не надмірне) - не позначається істотно на результатах при рівному числі спостережень в осередках, але може бути дуже чутливим при нерівному їх числі . Крім того, при нерівному числі спостережень в осередках різко зростає складність апарату дисперсійного аналізу. Тому рекомендується планувати схему з рівним числом спостережень в осередках, а якщо зустрічаються відсутні дані, то відшкодовувати їх середніми значеннями інших спостережень в осередках. При цьому, проте, штучно введені відсутні дані не слід враховувати при обчисленні степенів вільності.

Контрольні питання

1. В чому полягає сутність дисперсійного аналізу?

2. За яких умов застосовують однофакторний дисперсійний аналіз?

3. За яких умов застосовують двофакторний дисперсійний аналіз?

4. Як інтерпретувати результати дисперсійного аналізу?

РОЗДІЛ 6

КОРЕЛЯЦІЙНИЙ ТА РЕГРЕСІЙНИЙ АНАЛІЗ.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ КОРЕЛЯЦІЙНОГО АНАЛІЗУ.

КОЕФІЦІЄНТ КОРЕЛЯЦІЇ

Поняття кореляції та регресії з’явилися в середині ХІХ ст. завдяки роботам англійських статистиків Ф. Гальтона і К. Пірсона.

В економічній та інших сферах між змінними величинами існує залежність, коли кожному значенню однієї змінної відповідає множина можливих значень іншої змінної, тобто кожній змінній відповідає умовний розподіл другої змінної. Така залежність отримала назву статистичної або стохастичної. Прикладами статистичного зв’язку є залежність врожайності від кількості внесених добрив, продуктивність праці від енергоозброєння працівників і т.ін.

Означення 6.1. Статистична залежність між двома змінними, при якій кожному значенню однієї змінної відповідає певне умовне математичне сподівання іншої, називається кореляційною (від латинського «correlatio» - співвідношення, взаємозв’язок).

Кореляційна залежність має вигляд:

(6.1)

або , (6.2)

де . Ці рівняння називаються модельними рівняннями регресії (від лат. «regressio»- рух у зворотньому напрямку) або просто рівняннями регресії відповідно Y по X та X по Y; функції - модельними функціями регресії, а їх графіки – лініями регресії.

Для відшукання модельних рівнянь регресії необхідно знати закон розподілу двовимірної випадкової величини (X, Y), що не завжди можливо. На практиці дослідник має лише вибірку пар значень ( ). В цьому випадку досліджують найкращу оцінку – вибіркову лінію регресії Y по X:

, (6.3)

де - умовне середнє змінної Y при фіксованому значенню змінної X=х; - параметри кривої.

Аналогічно визначається вибіркова лінія регресії X по Y:

, (6.4)

де - умовне середнє змінної X при фіксованому значенню змінної Y =у; - параметри кривої. Рівняння (6.3) і (6.4) називають вибірковими рівняннями регресії відповідно Y по X та X по Y. При вдало визначених функціях і із збільшенням об’єму вибірки ( ) вони будуть збігатися за ймовірністю до функцій .

Статистичні зв’язки можна вивчати методами кореляційного і регресійного аналізу.

Основною задачею регресійного аналізу є встановлення форми і вивчення залежності між змінними.

Основною задачею кореляційного аналізу є виявлення зв’язку між випадковими змінними і оцінка його тісноти .