Коефіцієнт кореляції

Оцінимо тісноту лінійної кореляційної залежності. Виберемо стандартну систему одиниць виміру, в якій дані за різними характеристиками виявилися б такими, що можуть бути порівняні між собою. Ця система використовує в якості одиниці виміру змінної її середнє квадратичне відхилення . Представимо рівняння регресії у вигляді:

(6.18)

Величина показує на скільки зміниться в середньому Y, коли Х збільшиться на одне .

Величина є показником тісноти лінійного зв’язку і називається вибірковим коефіцієнтом кореляції.

На рис. 6.2 наведено дві кореляційні залежності змінної Y по Х: у випадку а) залежність між змінними менш тісна, ніж у випадку б). Якщо , кореляційний зв’язок називається прямий, а якщо - обернений.

Формула для симетрична відносно змінних Y та Х, отже, можна записати . Перемножимо обидві формули для :

(6.19) Отже, коефіцієнт кореляції змінних Y та Х є середнє геометричне кое-

фіцієнтів регресії і має їх знак.

a)

б)

Рис. 6.2

◄ Приклад 6.2 Обчислити коефіцієнт кореляції між величиною основних виробничих фондів Х і добовим виробітком продукції Y за даними табл. 6.1.

Розв’язання. В прикладі 6.1 були обчислені коефіцієнти регресії

Отже, . Таким чином, зв’язок між змінними прямий і достатньо тісний►.

Основні властивості коефіцієнта кореляції:

( об’єм вибірки достатньо великий)

1. Коефіцієнт кореляції приймає значення на відрізку .

В залежності від того наскільки наближається до одиниці розрізняють зв’язок слабкий, помірний, відчутний, достатньо тісний, тісний і вельми тісний.

2. Якщо всі значення змінних збільшити (зменшити) на одне і те саме число або в одне і те саме число разів, то величина коефіцієнта кореляції не зміниться.

3. При кореляційний зв’язок представляє лінійну функціональну залежність. При цьому лінії регресії Y по Х та Х по Y співпадають і всі спостереженні значення розташовані на спільній прямій.

4. При лінійний кореляційний зв’язок відсутній. При цьому групові середні змінних співпадають з їх загальними середніми, а лінії регресій Y по Х та Х по Y паралельні осям координат. Рівність каже лише про відсутність лінійної кореляції, але не про відсутність взагалі кореляційної або статистичної залежності.

Основні положення кореляційного аналізу. Двовимірна модель

Кореляційний аналіз (кореляційна модель) - метод, що застосовується тоді, коли данні спостережень або досліду можна вважати випадковими і такими, що вибрані із сукупності, що розподілена за багатовимірним нормальним законом.

Основна задача кореляційного аналізу – полягає у виявлені зв’язку між випадковими змінними шляхом точкової та інтервальної оцінок різних коефіцієнтів кореляції. Додаткова задача кореляційного аналізу – полягає в оцінці рівнянь регресії однієї змінної по другій.

Розглянемо двовимірну модель. Густина спільного нормального розподілу двох змінних Х та Y має вигляд:

,

де

- математичні сподівання змінних Х та Y;

- дисперсії змінних Х та Y;

- коефіцієнт кореляції між змінними Х та Y, що визначається через коваріацію за формулою:

.

Величина характеризує тісноту зв’язку між випадковими змінними Х та Y лише у випадку лінійного зв’язку. Степінь розсіювання значень змінної відносно лінії регресії визначається двома факторами: дисперсією і коефіцієнтом кореляції і не залежить від значення змінної.

Генеральна сукупність певною мірою аналогічна поняттю випадкової величини і її закону розподілу, тому для параметрів , , використовується інша термінологія: (або ) – генеральні середні; - генеральні дисперсії; і - генеральні коваріація і коефіцієнт кореляції.

Для оцінки генерального коефіцієнта кореляції і модельних рівнянь регресії за вибіркою необхідно замінити параметри , , їх спроможними оцінками:

заміняємо на ;

заміняємо на , ;

заміняємо на .