7.Дифференциальные уравнения движения колесной пары упруго связанной с тележкой.

Как указывалось, движение одиночной колесной пары неустойчиво при любой скорости. Для обеспечения устойчивости необходимо закрепить колесную пару в тележке с помощью продольных и поперечных связей (поводков). Рассмотрим, как влияет скорость на устойчивость колесной пары (рис. 11.2.), связанной с тележкой с помощью упругих продольных связей с жесткостью (жесткость сайлент – блоков поводков) и поперечных с жесткостью (жесткость торцевых шайб). При относе колесной пары по направлению оси и угловом смещении относительно оси , кроме сил для одиночной колесной пары (рис. 10.4.), дополнительно возникают упругая сила , направленная против смещения колесной пары и момент упругих сил , направленный против вращения колесной пары. Сила упругости в поперечной связи колесной пары с рамой тележки определяется

. (11.1)

Момент упругих продольных сил определяется

(11.2)

Уравнение бокового относа связанной колесной пары имеет вид:

; (11.3)

Уравнение колебания виляния с учетом момента упругости имеет вид:

; (11.4)

Окончательные уравнения движения колесной пары связанной с тележкой упругими связями имеют вид

; (11.5)

. (11.6)

Рис. 11.3. Изменение координаты бокового относа колесной пары связанной с тележкой от времени

Решение полученных дифференциальных уравнений показывает, что движение колесной пары устойчиво до определенной скорости (рис. 11.3.). Критическая скорость также зависит от жесткости связей. Если жесткость связей становится большой, вновь получается неустойчивая система. Неустойчивость такой системы легко показать, составив уравнения более подробной модели тележки с колесными парами.

Критическая скорость зависит от конусности бандажей, а также от инерционных, упругих, диссипативных и геометрических параметров локомотивов. Влияют на устойчивость также характеристики и параметры связей тележек с кузовом. Поэтому определять критическую скорость необходимо для экипажа в целом. Величины этих параметров выбирают таким образом, чтобы находилась вне диапазона скоростей движения, принятых в эксплуатации. При исследовании устойчивости задают начальные условия на относ первой колесной пары и изменяя скорость движения анализируют процесс колебаний относа и виляния. Критическому значению скорости локомотива соответствует определенный характер потери его устойчивости с преобладающим ростом амплитуд по одной из обобщенных координат: относ колесной пары, тележки кузова; виляние колесной пары, тележки, кузова. В реальных условиях основную опасность представляет потеря устойчивости движения колесных пар и тележки.

8.Особенности боковых колебаний пс (устойчивость, автоколебания, критическая скорость).

Решение дифференциальных уравнений движения одиночной колесной пары (формулы 10.23 и 10.24) показывает, что это движение будет неустойчиво при любой скорости движения. Координаты бокового относа и виляния с увеличением скорости начинаю возрастать (рис. 11.1.). Это связано с тем, что диссипативные силы с увеличением скорости уменьшаются.

Рис. 11.1. Изменение координаты бокового относа одиночной колесной пары от времени

Устойчивость это стремление системы возвратиться в исходное состояние после того, как она была из него выведена, либо свойство системы оставаться вблизи этого исходного состояния.

По устойчивости или неустойчивости движения одиночной колесной пары нельзя судить о характеристиках боковых колебаний локомотива, так как колесная пара связана с тележкой, а последняя – с кузовом локомотива.

Поскольку движение одиночной колесной пары неустойчиво, то амплитуды относа и виляния через некоторое время могут стать равными половине зазора в колее, т.е. процесс извилистого движения будет сопровождаться набеганием гребня бандажа на рельс. Набегание гребня связано с появлением дополнительных реакций (кроме сил крипа). Значения этих реакций зависят от формы профиля бандажа и рельса, жесткости пути в поперечном направлении.

При набегании гребня бандажа на рельс резко возрастают силы взаимодействия колесной пары и пути. В этом случае могут быть превзойдены допустимые значения показателей безопасности движения.

При исследовании боковых колебаний обязательно должна выполняться проверка на устойчивость (вертикальные колебания всегда устойчивы). Исследования показывают, что практически у всех локомотивов существует так называемая критическая скорость , при которой происходит потеря устойчивости прямолинейного равномерного движения и значения отдельных координат начинают возрастать. Нарастание амплитуд колебаний ограничиваются гребнями бандажей. Амплитуды колебаний колесных пар определяются поперечным зазором в рельсовой колее. В этом случае колебания будут иметь одинаковую амплитуду (амплитуда ограничивается зазором в колее) и частоту. Такие колебания называются автоколебаниями. Автоколебания опасны тем, что вызываемые ими силы интенсивно нарастают с увеличением скорости движения локомотива, вследствие чего снижается безопасность движения

9.Определение критической скорости по устойчивости (на примере КП упруго связанной с тележкой, теорема Ляпунова). Анализ влияния параметров ПС на величину критической скорости.

Определение критической скорости по устойчивости

Рассмотрим определение критической скорости для колесной пары упруго связанной с тележкой (рис. 11.2.). Исследование устойчивости движе­ния может быть сведено к исследованию нулевого решения системы урав­нений так называемого возмущенного движения. А.М. Ляпунов показал, что во многих случаях устойчивость может быть ис­следована по линеаризованным уравнениям движения. В задачах малых колебаний, описываемых системой линейных дифференциальных уравнений (11.5 и 11.6), проверка устойчивости решений сво­дится к проверке ограничений значений обобщенных координат в любой мо­мент времени. Для этого характеристические показатели (корни или собственные зна­чения), найденные из уравнения, должны удовлетворять условиям:

1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны, то невозмущенное движение устойчиво независимо от членов выше первого порядка малости.

2. Если среди корней характеристического уравнения найдется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво независимо от членов выше первого порядка малости.

3. Если один или несколько корней имеют нулевые вещественные части, то об устойчивости исходной системы нельзя судить по линейному приближению.

Рассмотрим определение характеристических показателей для выражений (11.5 и 11.6). Решение системы уравнений (11.5 и 11.6) будем искать в виде:

; (11.7)

. (11.8)

После подстановки этих выражений в систему уравнений (11.5 и 11.6) получим систему алгебраических уравнений для определения характеристических показателей из условия равенства нулю определителя системы

; (11.9)

Раскрыв этот определитель, получим характеристическое уравнение

(11.10)

Рис. 11.4. Зависимость максимальной вещественной части от скорости движения

Для вычисления корней данного алгебраического уравнения можно воспользоваться любой математической программой для ЭВМ (Maple или Mathcad). Задаваясь массовыми, инерционными и геометрическими параметрами колесной пары ( ), параметрами жесткости связей ( ) изменяя скорость движения , определяем корни уравнения (11.10). Зависимость максимальной вещественной части корня от скорости движения позволяет определить критическую скорость движения колесной пары (рис. 11.4.). А именно, точка пересечения кривой с осью скорости определяет критическую скорость движения , т.е. скорость при которой вещественная часть хотя бы одного корня становится равной нулю. Для локомотивов должно выполняться условие , где - конструкционная скорость движения.