Логарифмическая модель

Построим логарифмическую модель без переменных guest и cruising_speed, так как они способствовали появлению мультиколлинеарности в модели, и это было обосновано в линейной модели.

Модель 5: МНК, использованы наблюдения 1-153

Зависимая переменная: l_price

	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение
const	4,81344	0,726664	6,6240	<0,00001	***
l_length	0,634772	0,388665	1,6332	0,10464
l_beam	1,63233	0,624219	2,6150	0,00989	***
l_draft	-0,0504981	0,122795	-0,4112	0,68152
l_displacemen	0,200203	0,146602	1,3656	0,17422
l_max_speed	0,55254	0,163258	3,3845	0,00092	***
l_power	-0,0987403	0,0934228	-1,0569	0,29234
l_fuel	0,576526	0,143556	4,0161	0,00010	***
l_water	-0,251632	0,113808	-2,2110	0,02863	**
l_cabin	-0,0208788	0,120634	-0,1731	0,86284
region	-0,0837315	0,0672008	-1,2460	0,21482

Среднее зав. перемен	14,28327		Ст. откл. зав. перемен	0,763842
Сумма кв. остатков	17,50363		Ст. ошибка модели	0,351091
R-квадрат	0,802631		Испр. R-квадрат	0,788732
F(10, 142)	57,74660		Р-значение (F)	4,72e-45
Лог. правдоподобие	-51,24334		Крит. Акаике	124,4867
Крит. Шварца	157,8215		Крит. Хеннана-Куинна	138,0278

В данной модели переменные l_beam, l_max_speed и l_fuel значимы на 1% уровне значимости, l_water значим на 5% уровне. В целом уравнение значимо на 1% и R2=0,802631.

Исключим незначимые переменные, но оставим переменную l_power и l_cabin ( причина объяснена в линейной модели), Такие переменные как l_legth, l_draft, l_displacement можно исключить, так как между размерами судов наблюдается сильная корреляционная зависимость.

Так как на данном этапе мы исключаем фиктивную переменную region ( 1-Европа, 0- Америка), то проинтерпретируем коэффициент при ней:

Цена яхты в Европе ниже цены яхты в Америке на 8.03 %. ( e-0,0837315) -1)*100%.

Модель 6: МНК, использованы наблюдения 1-153

Зависимая переменная: l_price

	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение
const	4,50261	0,636568	7,0733	<0,00001	***
l_beam	2,61185	0,48985	5,3319	<0,00001	***
l_max_speed	0,554798	0,158727	3,4953	0,00063	***
l_power	-0,0889051	0,0922248	-0,9640	0,33664
l_fuel	0,715292	0,130239	5,4921	<0,00001	***
l_cabin	-0,0227344	0,117833	-0,1929	0,84728
l_water	-0,254149	0,113666	-2,2359	0,02687	**

Среднее зав. перемен	14,28327		Ст. откл. зав. перемен	0,763842
Сумма кв. остатков	18,41225		Ст. ошибка модели	0,355122
R-квадрат	0,792386		Испр. R-квадрат	0,783854
F(6, 146)	92,87131		Р-значение (F)	2,53e-47
Лог. правдоподобие	-55,11484		Крит. Акаике	124,2297
Крит. Шварца	145,4428		Крит. Хеннана-Куинна	132,8468

В данной модели коэффициенты при l_beam, l_max_speed, l_fuel , const значимы на 1% уровне значимости, при , l_water на 5%. Уравнение в целом значимо на 1% уровне, R2=0,792386.

Однако коэффициенты при l_power и l_cabin не являются значимыми. Но, так как, по нашим предположениям, они играют важную роль при формировании цены яхты, то проведем тест на линейной ограничение.

H0: b[l_cabin]=0

F(1, 146) = 0,0372249 , р-значение = 0,847276

Так как р-значение больше тестовой статистики, то Н0 отвергается, и это означает, что коэффициент при данной переменной не равен нулю.

H0: b[power]=0

F(1, 146) = 0,929303, р-значение = 0,336638

Так как р-значение меньше тестовой статистики, то Н0 принимается, и это означает, что коэффициент при данной переменной равен нулю.

Таким образом, нужно исключить l_power из модели.

Модель 7: МНК, использованы наблюдения 1-153

Зависимая переменная: l_price

	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение
const	4,59755	0,628752	7,3122	<0,00001	***
l_beam	2,5175	0,479856	5,2464	<0,00001	***
l_max_speed	0,452243	0,11777	3,8400	0,00018	***
l_fuel	0,691972	0,127942	5,4085	<0,00001	***
l_cabin	-0,0515864	0,113941	-0,4527	0,65140
l_water	-0,256186	0,113619	-2,2548	0,02563	**

Среднее зав. перемен	14,28327		Ст. откл. зав. перемен	0,763842
Сумма кв. остатков	18,52945		Ст. ошибка модели	0,355036
R-квадрат	0,791064		Испр. R-квадрат	0,783958
F(5, 147)	111,3132		Р-значение (F)	3,61e-48
Лог. правдоподобие	-55,60023		Крит. Акаике	123,2005
Крит. Шварца	141,3831		Крит. Хеннана-Куинна	130,5865

В данной модели коэффициенты при l_beam, l_max_speed, l_fuel , const значимы на 1% уровне значимости, при , l_water на 5%. Уравнение в целом значимо на 1% уровне, R2=0,791064.

Данную модель также проверим на наличие гетероскедастичности. Проведем тест Уайта.

Н0: в модели нет гетероскедастичности

Тест Вайта (White) на гетероскедастичность

МНК, использованы наблюдения 1-153

Зависимая переменная: uhat^2

Коэффициент Ст. ошибка t-статистика P-значение

----------------------------------------------------------------

const 7,09404 6,37821 1,112 0,2681

l_beam -13,1299 7,80315 -1,683 0,0948 *

l_max_speed -1,67252 2,10988 -0,7927 0,4294

l_fuel 1,64935 2,12831 0,7750 0,4398

l_cabin 0,756417 1,49560 0,5058 0,6139

l_water -0,157891 1,93383 -0,08165 0,9351

sq_l_beam 4,52949 2,90885 1,557 0,1218

X2_X3 2,21599 1,56585 1,415 0,1594

X2_X4 -1,50959 1,65491 -0,9122 0,3633

X2_X5 -1,19951 1,24191 -0,9659 0,3359

X2_X6 0,653917 1,13130 0,5780 0,5642

sq_l_max_spee 0,0425538 0,257734 0,1651 0,8691

X3_X4 -0,390976 0,438914 -0,8908 0,3747

X3_X5 -0,258997 0,280929 -0,9219 0,3582

X3_X6 0,172519 0,407442 0,4234 0,6727

sq_l_fuel 0,185598 0,222722 0,8333 0,4062

X4_X5 0,379067 0,319207 1,188 0,2372

X4_X6 -0,191417 0,268517 -0,7129 0,4772

sq_l_cabin 0,384456 0,218509 1,759 0,0808 *

X5_X6 -0,251668 0,246313 -1,022 0,3088

sq_l_water 0,0240513 0,187312 0,1284 0,8980

Неисправленный R-квадрат = 0,160589

Тестовая статистика: TR^2 = 24,570042,

р-значение = P(Хи-квадрат(20) > 24,570042) = 0,218378

Так как расчетная статистика меньше табличной, то нулевая гипотеза принимается и в модели нет гетероскедастичности.

Таким образом, достоинством полученной модели является то что, оценки несмещенные и состоятельные, и являются наилучшими среди линейных не смещенных оценок. ( по теореме Гаусса- Маркова).

Полученная модель отображает логарифмическую зависимость цены яхты от ширины, максимальной скорости, запаса топлива, запаса воды, числа кают. В процессе улучшения модели фиктивная переменная region была исключена из модели, но была проинтерпретирована ранее.

ln( price) = 4,59755+2,5175*ln(beam)+ 0,452243* ln(max_speed) + 0,691972* ln(fuel) -0,0515864*ln (cabin) -0,256186*ln (water)

Проинтерпретируем коэффициенты при переменных в данной модели:

• При увеличении ширины судна на 1 %, цена яхты увеличится на 2.52%;

• При увеличении максимальной скорости на 1 %, цена яхты увеличится на 0.45 % ;

• При увеличении запаса топлива на 1 %, цена яхты увеличится практически на 0.69%;

• При увеличении количества кают на 1% , цена яхты уменьшится на 0.05%;

• При увеличении запаса воды на 1%, цены яхты уменьшится практически на 0,26%.